LỜI GIẢI CỦA BẠN PHÍ ĐỨC HIẾU

• Ban đầu, tất cả 100 chiếc rương đều ĐÓNG.
• Người lính thứ 1 tác động vào các rương số: 1, 2, 3, 4, 5... (các số chia hết cho 1).
• Người lính thứ 2 tác động vào các rương số: 2, 4, 6, 8... (các số chia hết cho 2).
• Người lính thứ 3 tác động vào các rương số: 3, 6, 9, 12... (các số chia hết cho 3).

Nhận xét: Một chiếc rương bất kỳ (ví dụ rương số 6) sẽ bị các người lính có số thứ tự là ước của 6 tác động vào.

Các ước của 6 là: 1, 2, 3, 6.

Bước 2: Tìm điều kiện để rương được MỞ Chúng ta hãy thử đếm số lần thay đổi của một chiếc rương:

• Ban đầu: ĐÓNG
• Tác động lần 1: Đóng \(\rightarrow\) MỞ
• Tác động lần 2: Mở \(\rightarrow\) ĐÓNG
• Tác động lần 3: Đóng \(\rightarrow\) MỞ
• Tác động lần 4: Mở \(\rightarrow\) ĐÓNG

Nhận xét quan trọng:

• Nếu chiếc rương bị tác động một số chẵn lần, nó sẽ quay về trạng thái ĐÓNG.
• Nếu chiếc rương bị tác động một số lẻ lần, nó sẽ ở trạng thái MỞ.

Do đó, những chiếc rương còn MỞ là những chiếc rương có số lượng ước là số lẻ.

Bước 3: Tìm các số có số lượng ước là số lẻThông thường, các ước của một số luôn đi thành từng cặp với nhau (ví dụ: số 6 có các cặp \(1 \times 6 = 6\) và \(2 \times 3 = 6\), tổng cộng có 4 ước - là số chẵn).Một số chỉ có số lượng ước là số lẻ khi nó có một cặp ước gồm hai số giống hệt nhau nhân với nhau (ví dụ: \(2 \times 2 = 4\) hay \(3 \times 3 = 9\)). Những số như vậy được gọi là số chính phương (bằng một số tự nhiên nhân với chính nó).

• Ví dụ số 4: có các ước là 1, 2, 4 (3 ước - số lẻ) \(\rightarrow\) MỞ.
• Ví dụ số 9: có các ước là 1, 3, 9 (3 ước - số lẻ) \(\rightarrow\) MỞ.

Kết luận: Các chiếc rương còn mở là các rương mang số chính phương từ 1 đến 100:

• \(1 \times 1 = 1\)
• \(2 \times 2 = 4\)
• \(3 \times 3 = 9\)
• \(4 \times 4 = 16\)
• \(5 \times 5 = 25\)
• \(6 \times 6 = 36\)
• \(7 \times 7 = 49\)
• \(8 \times 8 = 64\)
• \(9 \times 9 = 81\)
• \(10 \times 10 = 100\)

Đáp số: Các rương số 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 sẽ còn mở.