Hãy tưởng tượng mỗi chiếc rương ban đầu đều đang đóng. Mỗi lần một người lính đi qua và gặp đúng chiếc rương mà số của người lính là ước của số rương, người lính sẽ đổi trạng thái của rương đó: đang đóng thì mở, đang mở thì đóng.

Điều quan trọng nhất là: một chiếc rương bị đổi trạng thái bao nhiêu lần?

Ví dụ, xét rương số 12.

Những người lính có thể tác động vào rương 12 là các lính mang số là ước của 12:

1, 2, 3, 4, 6, 12.

Như vậy, rương 12 bị đổi trạng thái 6 lần.

Ban đầu rương đóng:

Đóng → Mở → Đóng → Mở → Đóng → Mở → Đóng.

Sau 6 lần thay đổi, rương 12 lại đóng.

Ta nhận thấy một điều rất thú vị: nếu rương bị đổi trạng thái một số lần chẵn thì cuối cùng nó đóng; nếu bị đổi một số lần lẻ thì cuối cùng nó mở.

Vậy muốn biết rương nào còn mở, chúng ta cần tìm những số có số lượng ước là số lẻ.

Thông thường, các ước của một số luôn xuất hiện thành từng cặp.

Chẳng hạn, số 12 có:

1 × 12
2 × 6
3 × 4

Các ước được ghép thành từng cặp nên có tất cả 6 ước, là số chẵn.

Nhưng có một trường hợp đặc biệt.

Xét số 16:

1 × 16
2 × 8
4 × 4

Ở đây, 4 × 4 có hai số giống nhau nên số 4 không có một “người bạn” khác để ghép cặp. Vì vậy, 16 có 5 ước:

1, 2, 4, 8, 16.

5 là số lẻ, nên rương số 16 bị đổi trạng thái 5 lần và cuối cùng sẽ mở.

Những số có đặc điểm này chính là số chính phương, tức là những số được tạo ra bằng cách lấy một số tự nhiên nhân với chính nó.

Ví dụ:

1 = 1 × 1
4 = 2 × 2
9 = 3 × 3
16 = 4 × 4
25 = 5 × 5

Trong phạm vi từ 1 đến 100, các số chính phương là:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Do đó, sau khi cả 100 người lính thực hiện xong nhiệm vụ, chỉ những chiếc rương mang các số trên vẫn còn mở.

Có thể hiểu toàn bộ câu đố bằng một quy luật rất đẹp:

Rương số n mở cuối cùng khi và chỉ khi n là số chính phương.

Vì từ 1² đến 10² có đúng 10 số nên có đúng 10 chiếc rương còn mở.

Đáp án cuối cùng là:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Vậy nhà vua sẽ tìm thấy 10 chiếc rương đang mở.

Điểm hay nhất của bài toán là ban đầu tưởng như phải theo dõi 100 người lính và hàng trăm lần đóng mở, nhưng chỉ cần nhận ra quy luật về các ước số thì toàn bộ bài toán trở nên rất đơn giản: số chính phương có số lượng ước lẻ, nên chúng là những chiếc rương duy nhất còn mở.