Bài giải:


1. Nhận xét quy luật thay đổi trạng thái của rương:
  • Ban đầu, tất cả các rương đều Đóng.
  • Một chiếc rương cứ bị chạm vào một lần thì sẽ đổi trạng thái (Đóng thành Mở, Mở thành Đóng). Do đó, chiếc rương nào bị chạm vào một số lẻ lần thì cuối cùng sẽ ở trạng thái Mở.
  • Người lính số \(k\) chỉ chạm vào chiếc rương số \(N\) nếu \(N\) chia hết cho \(k\). Như vậy, số lần một chiếc rương bị chạm đúng bằng số lượng ước số của số rương đó.
2. Tìm các chiếc rương còn mở:
  • Thông thường, các ước số của một số luôn đi thành từng cặp tích (ví dụ: rương số 12 có các cặp ước là \(1 \times 12\), \(2 \times 6\), \(3 \times 4\), tổng cộng có 6 ước - số chẵn, nên rương này sẽ Đóng).
  • Chỉ có các số mà bản thân nó bằng một số khác nhân với chính nó (gọi là số chính phương) thì ước ở giữa sẽ đứng một mình, không có cặp (ví dụ: rương số 9 có các ước là \(1 \times 9\) và \(3 \times 3\), vì số 3 đứng một mình nên tổng cộng có 3 ước - số lẻ, rương này sẽ Mở).
Do đó, các chiếc rương còn mở từ 1 đến 100 phải là tích của một số tự nhiên nhân với chính nó:
  • \(1 \times 1 = 1\)
  • \(2 \times 2 = 4\)
  • \(3 \times 3 = 9\)
  • \(4 \times 4 = 16\)
  • \(5 \times 5 = 25\)
  • \(6 \times 6 = 36\)
  • \(7 \times 7 = 49\)
  • \(8 \times 8 = 64\)
  • \(9 \times 9 = 81\)
  • \(10 \times 10 = 100\)
Đáp số: Các chiếc rương mang số thứ tự 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 vẫn còn đang mở.