Sau khi người lính thứ 100 rời đi, những chiếc rương mang số thứ tự là các số chính phương sẽ vẫn còn đang mở.Cụ thể, đó là các chiếc rương mang số:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, và 100.

Giải thích :

- Trạng thái của rương phụ thuộc vào số lần bị tác động:

    • Ban đầu rương đóng.
    • Lần tác động thứ 1 (người lính số 1): MỞ
    • Lần tác động thứ 2: ĐÓNG
    • Lần tác động thứ 3: MỞ
    • Lần tác động thứ 4: ĐÓNG
    • Quy luật: Nếu một chiếc rương bị tác động một số lẻ lần, nó sẽ ở trạng thái MỞ. Nếu bị tác động một số chẵn lần, nó sẽ quay về trạng thái ĐÓNG.
  2. Người lính nào sẽ tác động vào rương?
    • Người lính thứ k chỉ tác động vào rương số n nếu n chia hết cho k. Nói cách khác, số lần một chiếc rương bị tác động chính bằng số lượng ước số của số thứ tự của chiếc rương đó.
    • Ví dụ: Rương số 6 có các ước là 1, 2, 3, 6 (4 ước - số chẵn) ---> Sẽ bị tác động 4 lần ---> Cuối cùng sẽ ĐÓNG.
  4. Tại sao lại là số chính phương?
    • Trong toán học, các số tự nhiên thông thường luôn có số lượng ước là một số chẵn (vì các ước luôn đi thành từng cặp khác nhau, ví dụ với số 6 là: (1.6) và (2.3).
    • Tuy nhiên, các số chính phương (số bằng một số tự nhiên nhân với chính nó) lại có một cặp ước trùng nhau (ví dụ số 9 có (3.3), số 16 có (4.4). Vì ước đó không thể đếm 2 lần, nên tổng số lượng ước của một số chính phương luôn là một số lẻ.
    • Vì có số lượng ước lẻ, các rương số chính phương sẽ bị tác động một số lẻ lần và kết thúc ở trạng thái MỞ.