Phương pháp giải bài toán đếm số, cấu tạo số

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tập hợp số tự nhiên và cấu tạo số

+ Tập hợp số tự nhiên khác $0$ (nguyên dương) được ký hiệu là $\mathbb{N}^*$.

+ Khi viết một số tự nhiên, ta sử dụng $10$ chữ số từ $0$ đến $9$, chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác $0$.

+ Phân tích cấu tạo số: Một số tự nhiên có thể được phân tích theo các hàng chữ số:

$\overline{abcd} = a \times 1\,000 + b \times 100 + c \times 10 + d$,

với $a, \, b, \, c, \, d$ là các chữ số và $a$ khác $0$.

2. Dãy số tự nhiên cách đều

+ Dãy số tự nhiên cách đều là dãy có hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi.

+ Công thức tìm số số hạng: Đối với dãy số tăng dần, số số hạng được tính bằng công thức:

(Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1.

+ Công thức tính tổng:

Số đầu + Số cuối $ \times$ Số số hạng : 2.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Đếm số lượng chữ số của một dãy số

Phương pháp giải

Phân loại dãy số thành các nhóm: dãy các số có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số...

Tính số lượng số trong mỗi nhóm, sau đó nhân với số chữ số tương ứng của nhóm đó rồi cộng các kết quả lại.

Ví dụ 1. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A. Số A có bao nhiêu chữ số?

Lời giải

Từ 1 đến 9 có 9 số, gồm 9 chữ số.

Từ 10 đến 99 có 90 số, gồm 90 x 2 = 180 chữ số.

Từ 100 đến 999 có 900 số, gồm 900 x 3 = 2 700 chữ số.

Vậy số A có tổng cộng: 9 + 180 + 2 700 = 2 889 chữ số.

Dạng 2. Tính tổng các số hạng cách đều, theo quy luật

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp và tính số số hạng có trong dãy.

Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng: Số đầu + Số cuối $ \times$ Số số hạng : 2.

Ví dụ 2. Tính tổng $A = 1 + 2 + 3 + ... + 20$.

Lời giải

Số số hạng của dãy là: $\dfrac{20 - 1}{1} + 1 = 20$ (số hạng).

Tổng của dãy là: $A = \dfrac{(20 + 1) \times 20}{2} = 210$.

Dạng 3. Bài toán đếm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng 10 chữ số từ 0 đến 9. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0.

Dựa vào đặc điểm của số cần tìm (ví dụ: chia hết cho 2, 3, 5 hoặc tận cùng là một số cụ thể), xác định số lớn nhất và số nhỏ nhất thỏa mãn.

Tìm khoảng cách giữa các số thỏa mãn điều kiện đó và áp dụng công thức tìm số số hạng.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5?

Lời giải

Những số có tận cùng bằng 5 luôn cách nhau 10 đơn vị, để số đó chia hết cho 3 thì khoảng cách giữa các số trong dãy thỏa mãn đồng thời hai điều kiện phải là 30.

Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và tận cùng bằng 5 là 1 005.

Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và tận cùng bằng 5 là 9 975.

Ta có dãy số: 1 005; 1 035; 1 065;...; 9 975.

Số các số tự nhiên thỏa mãn là: (9 975 - 1 005) : 30 + 1 = 300.

Vậy có 300 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 4. Giải bài toán bằng phân tích cấu tạo số

Phương pháp giải

Gọi số tự nhiên cần tìm dưới dạng tổng quát (ví dụ: $\overline{ab}, \, \overline{abc}$).

Dựa vào dữ kiện bài toán để thiết lập, biểu diễn sự thay đổi của số khi thêm, bớt hoặc đổi chỗ các chữ số.

Sử dụng cấu tạo phân tích số để rút gọn và tìm ra các chữ số tương ứng.

Ví dụ 4. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số $12$ vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp $26$ lần số phải tìm.

Lời giải

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (với $a \neq 0$).

Khi viết thêm số $12$ vào bên trái, ta được số mới là $\overline{12ab}$.

Theo bài ra ta có: $\overline{12ab} = 26 \times \overline{ab}$.

Phân tích cấu tạo số: $1\,200 + \overline{ab} = 26 \times \overline{ab}$.

Chuyển vế ta được: $25 \times \overline{ab} = 1\,200$.

Suy ra: $\overline{ab} = 1\,200 \, : \, 25 = 48$.

Thử lại: $1\,248 = 48 \times 26$ (thỏa mãn).

Vậy số tự nhiên cần tìm là $48$ (Lưu ý: Dựa trên cách đặt ẩn số ban đầu là $\overline{ab}$, số ban đầu cần tìm là $48$).