Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (nâng cao) SVIP

Hướng dẫn giải:

Phương trình (1) có $\Delta'=m^2+1>0$ với mọi $m$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$.

Khi đó áp dụng định li Viète ta có

$x_1+x_2=2m; \, x_1x_2=-1$.

Theo bài ra ta có: $x_{1}^2+x_{2}^2-x_1x_2=7$

${{(x_1+x_2)}^2}-2x_1x_2-x_1x_2=7$

${{(x_1+x_2)}^2}-3x_1x_2=7$

$4m^2+3=7$

$4m^2=4$

$m=\pm 1$

Vậy $m=\pm 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

$x^2-2mx+2m-2=0$, với $m$ là tham số.

$\Delta'=(-m)^2-(2m-2)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1 \ge 0$ với mọi $m$.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2m; \, x_1x_2=2m-2$.

Theo giả thiết, ta có: $x_1+3x_2=6$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=2m \\ & x_1+3x_2=6 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & x_2=3-m \\ & x_1=3m-3 \\ \end{aligned} \right.$

Thay $\left\{ \begin{aligned} & x_2=3-m \\ & x_1=3m-3 \\ \end{aligned} \right.$ vào $x_1x_2=2m-2$, ta được:

$( 3m-3)( 3-m)=2m-2$

$3m^2-10m+7=0$

Phương trình có dạng $a+b+c=3-10+7=0$.

Suy ra $m=1$ hoặc $m=\dfrac{7}{3}$ .

Vây giá trị cần tìm là $m=1$ hoặc $m=\dfrac{7}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Giải phương trình (1) khi $m=2$.

+ Khi $m=2$, phương trình đã cho trở thành: $x^2-3x+2=0$.

+ Ta có: $a+b+c=1+(-3)+2=0$ nên phương trình có hai nghiệm là $x=1$ và $x=2$.

Vậy khi $m=2$ thì phương trình (1) có hai nghiệm là $x=1$ và $x=2$.   

b) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm.

+ Ta có: $\Delta =(-3)^2-4.1.m=9-4m$.

+ Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: $\Delta \ge 0$

$9-4m\ge 0$

$4m\le 9$

$m\le \dfrac{9}{4}$

Vậy khi $m\le \dfrac{9}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm.    

c) Theo câu b) phương trình $(1)$ có nghiệm $x_1, \, x_2$ khi $m\le \dfrac{9}{4}$ (*).

Khi đó theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3;$

$x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m$.  

Ta có: $x_{1}^{3}x_2+x_1x_{2}^{3}-2x_{1}^2x_{2}^2=5$

$x_1x_2(x_{1}^2+x_{2}^2)-2{{(x_1x_2)}^2}=5$

$x_1x_2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-2(x_1x_2)^2=5$

$m(3^2-2m)-2m^2=5$

$9m-2m^2-2m^2=5$

$4m^2-9m+5=0$

$4m^2-4m-5m+5=0$

$4m(m-1)-5(m-1)=0$

$(m-1)(4m-5)=0$

$m=1$ hoặc $m=\dfrac{5}{4}$.

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được các giá trị cần tìm của $m$ là $m=1$ và $m=\dfrac{5}{4}$.

Hướng dẫn giải:

a) Giải phương trình (1) với $m=-3$.

Khi $m=-3$ phương trình (1) trở thành: $x^2+x-2=0$.

Vì $1+1+(-2)=0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=1;\,x_2=-2$

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực $m$.

Ta có: $\Delta = [ -(m+2) ]^2-4(m+1)=m^2+4m+4-4m-4=m^2 \ge 0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực $m$.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là $h=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

Theo câu b ta có: $\Delta =m^2$

Phương trình (1) có có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khi

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta >0 \\ & x_1+x_2>0 \\ & x_1.x_2>0 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & m^2>0 \\ & m+2>0 \\ & m+1>0 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & m\ne 0 \\ & m>-1 \\ \end{aligned} \right.$

Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền $h=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ nên áp dụng hệ thức $\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{{{h}^2}}$ ta có:

$\dfrac{1}{x_{1}^2}+\dfrac{1}{x_{2}^2}=\dfrac{1}{\Big(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Big)^2}$

$\dfrac{x_{1}^2+x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2}=\dfrac54$

$4\left[ {{(x_1+x_2)}^2}-2x_1x_2 \right]=5(x_1x_2)^2$

$4\left[ {{(m+2)}^2}-2(m+1) \right]=5(m+1)^2$

$m^2+2m-3=0$

$m=1; \,m=-3$

Đối chiếu điều kiện ta được $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

a) Giải phương trình với $m=1$.

Với $m=1$, phương trình đã cho trở thành $x^2-4x+1=0$.

Ta có $\Delta'=2^2-1=3>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=2+\sqrt{3}$;

$x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=2-\sqrt{3}$.

Vậy khi $m=1$ thì nghiệm của phương trình là $x_1=2+\sqrt{3};$ $x_2=2-\sqrt{3}$.

b) Ta có: $\Delta'=(m+1)^2-m^2=2m+1$.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ thì $\Delta' \ge 0$

$2m+1\ge 0$

$m\ge -\dfrac12$.

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2(m+1); \, x_1x_2=m^2$.

Theo bài ra ta có: $x_{1}^2+x_{2}^2+6=4x_1x_2$

${{(x_1+x_2)}^2}-2x_1x_2+6=4x_1x_2$

${{(x_1+x_2)}^2}-6x_1x_2+6=0$

$4{{(m+1)}^2}-6m^2+6=0$

$-2m^2+8m+10=0$ (1)

Ta có $a-b+c=-2-8+10=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $m_1=-1$ (ktm); $m_2=-\dfrac{c}{a}=-\dfrac{10}{-2}=5$ (tm).

Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=5$.

Hướng dẫn giải:

a) Thay $m=1$ vào phương trình $(1)$ ta có:

$x^2-2(1+1)x+{{1}^2}+2=0$

$x^2-4x+3=0$

Phương trình có: $a+b+c=1-4+3=0$ suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=\dfrac{c}{a}=3.$

Vậy với $m=1$ thì phương trình có tập nghiệm là: $S=\{1;3\}$.

b) Xét phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta'>0$

${{(m+1)}^2}-(m^2+2)>0$

$m^2+2m+1-m^2-2>0$

$2m-1>0$

$m>\dfrac{1}{2}$

Với $m>\dfrac{1}{2}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$.

Áp dụng định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2(m+1); \, x_1x_2=m^2+2$.

Theo đề bài ta có: $x_{1}^2+2(m+1)x_2=12m+2$

$x_{1}^2+(x_1+x_2)x_2=12m+2$

$x_{1}^2+x_1x_2+x_{2}^2=12m+2$

${{(x_1+x_2)}^2}-2x_1x_2+x_1x_2=12m+2$

${{(x_1+x_2)}^2}-x_1x_2=12m+2$

$4{{(m+1)}^2}-(m^2+2)=12m+2$

$4m^2+8m+4-m^2-2=12m+2$

$3m^2-4m=0$

$m(3m-4)=0$

$m=0$ (ktm); $m=\dfrac{4}{3}$ (tm).

Vậy $m=\dfrac{4}{3}$ là thỏa mãn bài toán.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-6x+m+4=0$ (1) ($m$ là tham số).

a) Khi $m=1$, ta có $x^2-6x+1+4=0$

$x^2-6x+5=0$

Vì $a+b+c=1+(-6)+5=0$ suy ra phương trình có hai nghiệm $x_1=1; \, x_2=\dfrac{c}{a}=5$.

Vậy $m=1$ thì phương trình có nghiệm là $x_1=1; \, x_2=5$.

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$ thì $\Delta'>0$

${{(-3)}^2}-1(m+4)>0$

$9-m-4>0$

$-m>-5$

$m<5$.

Khi đó theo hệ thức Viète, ta có $x_1+x_2=6; \, x_1x_2=m+4$.

Theo bài ra: $2\,020(x_1+x_2)-2\,021x_1x_2=2\,014$

$2\,020.6-2\,021.(m+4)=2\,014$

$12\,120-2\,021m-8\,084=2\,014$

$-2\,021m=-2\,022$

$m=\dfrac{2\,022}{2\,021}$ (thỏa mãn).

Vậy $m=\dfrac{2\,022}{2\,021}$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình $x^2-2(m+2)x+m^2+7=0$ có: $\Delta'=(m+2)^2-m^2-7=4m-3$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta'>0$

$4m-3>0$

$m>\dfrac{3}{4}$.

Vậy với $m>\dfrac{3}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_1, \, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Với $m>\dfrac{3}{4}$, theo định li Viète ta có: $x_1+x_2=2m+4$;

$x_1x_2=m^2+7$.

Theo bài ra ta có: $x_{1}^2+x_{2}^2=x_1x_2+12$

${{(x_1+x_2)}^2}-2x_1x_2=x_1x_2+12$

${{(x_1+x_2)}^2}-3x_1x_2-12=0$

${{(2m+4)}^2}-3(m^2+7)-12=0$

$4m^2+16m+16-3m^2-21-12=0$

$m^2+16m-17=0$

Ta có $a+b+c=1+16-17=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $m=1$ (tm); $m=\dfrac{c}{a}=-17$ (ktm).

Vậy $m=1$.

Hướng dẫn giải:

a) Với $m=2$ thì phương trình (*) trở thành:

$x^2+4x-12=0$

$x^2+6x-2x-12=0$

$x(x+6)-2(x+6)=0$

$(x+6)(x-2)=0$

$x=-6; \, x=2$

Vậy với $m=2$ thì phương trình (*) có tập nghiệm là $S=\left\{ -6;2 \right\}$.

b) Phương trình $(*)$ có $a.c=1.(-12)=-12<0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{aligned} &x_1+x_2=-4m+4 \\ &x_1.x_2=-12 \\ \end{aligned} \right.$ (1) 

Vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có: $x_{2}^2+4(m-1)x_2-12=0$

$x_{2}^2+4mx_2-4x_2-12=0$

$x_{2}^2+4(mx_2-4)-4x_2+4=0$

$4(4-mx_2)=x_{2}^2-4x_2+4$

$4(4-mx_2)=(x_2-2)^2$ 

$2.\sqrt{4-mx_2}=\sqrt{(x_2-2)^2}$

$2.\sqrt{4-mx_2}=| x_2-2 |$ (2) 

Mà theo bài có: $4| x_1-2 |.\sqrt{4-mx_2}=(x_1+x_2-x_1x_2-8)^2$ (3) 

Thay (1), (2) vào (3) ta được: $2.\left| x_1-2 \right|.\left| x_2-2 \right|=\left[ -4m+4+12-8 \right]^2$

$2.\left| x_1x_2-2(x_1+x_2)+4 \right|=(8-4m)^2$

$2.\left| -12-2(-4m+4)+4 \right|=64-64m+16m^2$

$2.\left| -16+8m \right|=16(m^2-4m+4)$

$16.\left| m-2 \right|=16(m-2)^2$

$\left| m-2 \right|=(m-2)^2$

$(m-2)^2=(m-2)^4$

$(m-2)^4-(m-2)^2=0$

$(m-2)^2.[ (m-2)^2-1 ]=0$

$(m-2)^2=0$ hoặc $(m-2)^2-1=0$

Giải $(m-2)^2=0$ ta được $m=2$

Giải $(m-2)^2-1=0$

$(m-2)^2=1$

$m-2=1$ hoặc $m-2=-1$

$m=3$ hoặc $m=1$

Vậy $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\Delta = (2m+1)^2-4(m^2+1)=4m-3$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0$

$m>\dfrac{3}{4}$.

Theo định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2m+1$ và $x_1x_2=m^2+1$.

Do đó $P=\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}$

$=\dfrac{m^2+1}{2m+1}=\dfrac{2m-1}{4}$

$=\dfrac{5}{4(2m+1)}$.

Suy ra $4P=2m-1+\dfrac{5}{2m+1}$.

Do $m>\dfrac{3}{4}$ nên $2m+1>1$

Để $P\in \mathbb{Z}$ thì ta phải có $(2m+1)$ là ước của $5$, suy ra

$2m+1=5$

$m=2$

Thử lại với $m=2$, ta được $P=1$ (thỏa mãn).

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.