Tóm tắt kiến thức: Giá trị lượng giác của góc lượng giác SVIP

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

Gọi toạ độ của điểm $M$ trong hệ tọa độ sau đây là $(x;y)$. 

⚡Hoành độ $x$ của điểm $M$ gọi là côsin của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu: $\cos \alpha$; $\cos \alpha =x$.

⚡Tung độ $y$ của điểm $M$ gọi là sin của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu: $\sin \alpha$; $\sin \alpha =y$.

⚡Nếu $\cos \alpha \ne 0$ thì $\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ gọi là tang của góc lượng giác $\alpha$, kí hiệu: $\tan \alpha$; $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

⚡Nếu $\sin \alpha \ne 0$ thì $\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ gọi là côtang của góc lượng giác $\alpha$, kí hiệu: $\cot \alpha$; $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

2. BẢNG XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Góc phần tư	I	II	III	IV
$\cos a$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\sin a$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\tan a$	$+$	$-$	$+$	$-$
$\cot a$	$+$	$-$	$+$	$-$

3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

⚡${{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1$ với mọi $\alpha$;

⚡$\tan \alpha =\dfrac{1}{\cot \alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0,\sin \alpha \ne 0$;

⚡$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0;$

⚡$1+{{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$.

4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT

5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

⚡Hai góc đối nhau $-\alpha$ và $\alpha$

$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$ (cos đối).

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$;

$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$;

$\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$.

⚡Hai góc bù nhau $\pi-\alpha$ và $\alpha$

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (sin bù).

$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$;

$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$;

$\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$.

⚡Hai góc phụ nhau $\dfrac{\pi}2-\alpha$ và $\alpha$

$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\cos \alpha$ (phụ chéo);

$\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\sin \alpha$;

$\tan \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\cot \alpha$;

$\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\tan \alpha$.

⚡Hai góc hơn kém nhau $180^\circ$: $\alpha + \pi$ và $\alpha$

$\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$ (Hơn kém pi tan, cot);

$\cot (\alpha +\pi )=\cot \alpha$.

$\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha$;

$\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha$.

Dạng 1. Xét dấu các giá trị lượng giác

🔹Bước 1. Từ giả thiết, xác định góc lượng giác có điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư nào.

🔹Bước 2. Sử dụng bảng ở trên hoặc lấy một góc $a$ bất kì trên góc phần tư đó, xét $\sin a$, $\cos a$ mang dấu $-$ hay $+$

Lưu ý: để xét dấu $\tan a, \, \cot a$, ta ghi nhớ công thức $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}$ và $\cot a$ cùng dấu với $\tan a$.

Ví dụ 1. Cho $2\pi <\alpha <\dfrac{5\pi }{2}$, xét dấu các giá trị lượng giác của $\alpha$.

Lời giải

Vì $2\pi <\alpha <\dfrac{5\pi }{2}$ (Góc phần tư thứ I) nên $\sin \alpha >0; \, \cos \alpha >0$.

Suy ra $\tan \alpha >0; \, \cot \alpha >0$.

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức M liên quan đến các giá trị lượng giác

🔹Bước 1. Từ giá trị lượng giác ở giả thiết, áp dụng một trong các công thức cơ bản sau để tìm $\sin \alpha$ hoặc $\cos \alpha$.

${{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1$;

$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$;

$1+{{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }$.

🔹Bước 2. Từ góc phần tư ở giả thiết, tìm dấu của $\sin \alpha, \, \cos \alpha$ (đã tìm ở bước 1).

Lưu ý: ${{\cos }^{2}}a=x$ thì $\cos  a=\pm \sqrt{x}$.

Ví dụ 2. Cho $\cos \alpha =\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$. Tính $\sin \alpha$.

Lời giải

Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{3}{4} \Rightarrow \sin \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Mà $\dfrac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Dạng 3. Rút gọn biểu thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức lượng giác

🔹${{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1$ với mọi $\alpha$;

🔹$\tan \alpha =\dfrac{1}{\cot \alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0,\sin \alpha \ne 0$;

🔹$1+{{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0;$

🔹$1+{{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$.

Lưu ý: với các câu trắc nghiệm, có thể sử dụng máy tính cầm tay với các tổ hợp phím:

🔹SIN, COS, TAN + số đo góc: để tính giá trị lượng giác một góc

🔹SHIFT SIN, SHIFT COS, SHIFT TAN + giá trị lượng giác: để tìm góc tương ứng.

Ví dụ 3. Biết $\tan x=2$, giá trị của biểu thức $M=\dfrac{3\sin x-2\cos x}{5\cos x+7\sin x}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Cách 1: Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos x$ ta có: $M=\dfrac{3\dfrac{\sin x}{\cos x}-2}{5+7\dfrac{\sin x}{\cos x}}=\dfrac{3.2-2}{5+7.2}=\dfrac{4}{19}$.

Cách 2: sử dụng SHIFT TAN 2 để tìm $x$ rồi thay $x$ vừa tính vào $M$.