Định lí côsin và định lí sin SVIP

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c.$ Khi đó:

$a^{^{ }2}=b^2+c^2-2bc\cos A,$

$b^{^{ }2}=c^2+a^2-2ca\cos B,$

$c^{^{ }2}=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Hệ quả: 

​$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;​

$\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$;

$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AC=10$ cm, $BC=16$ cm và góc $C$ bằng $110^\circ$. Tính cạnh $AB$ và góc $A$ của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin ta có:

 $AB^2=CA^2+CB^2-2CA.CB.\cos\widehat{C}$

$AB^2=16^2+10^2-2.16.10$$\cos110^\circ$

$AB^2\approx465,44$

suy ra $AB\approx\sqrt{465,44}\approx21,6$ (cm).

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

$\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}$

$\cos A\approx\dfrac{10^2+\left(21,6\right)^2-16^2}{2.10.21,6}\approx0,72$

suy ra $A\approx$ $43^\circ56'$.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Định lí sin

Trong tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $R$. Khi đó:

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$.

Hệ quả

$a=2R\sin A;$       $b=2R\sin B;$      $c=2R\sin C;$

$\sin A=\dfrac{a}{2R};$         $\sin B=\dfrac{b}{2R};$        $\sin C=\dfrac{c}{2R}.$

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$ cm, $\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=45^\circ$, tính độ dài cạnh $AC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{6.\sin30^\circ}{\sin45^\circ}\approx4,24$ cm.

Ta lại có 

$\dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2.\sin C}=\dfrac{6}{2.\sin45^\circ}\approx4,24$ cm.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Trong tam giác $ABC$, ta kí hiệu:

• $A,B,C$ là các góc của tam giác tại các đỉnh tương ứng.
• $a,b,c$ tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh $A,B,C$.
• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài các đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh $BC,CA,AB.$
• $p$ là nửa chu vi.
• $S$ là diện tích.
• $R,r$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

$1$) $S=\dfrac{1}{2}ah_a=\dfrac{1}{2}bh_b=\dfrac{1}{2}ch_c;$

$2$) $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C;$

$3$) $S=\dfrac{abc}{4R};$

$4$) $S=pr;$

$5$) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (công thức Heron)