Xét tam giác aqp và tam giác bmp có 

Góc apq bằng góc mpb hai góc đối đỉnh 

 Góc Mbp bằng góc paq hai góc so le trong của hai đường thẳng Byvà AC 

Pa = PB gt

Tam giác paq bằng tam giác pBM theo trường hợp góc cạnh góc 

Suy ra PQ = pm hai cạnh tương ứng 

Chắc tự giác ABMQ có 

Hai đường chéo AB và MQ ma ap cắt MQ tại p mặt khác pa = PB gt , pm = PQ cmt 

Nên ambq là hình bình hành 

Mà góc a bằng 90 độ nên ampq là hình chữ nhật 

Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau nên AB = MQ hay pa = PB bằng pm = PQ 

Xét tam giác pqb có 

PQ = pB cmt suy ra pqb cân tại p đpcm

Áp dụng định lý trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền trong tam giác ABC ta có 

BM bằng 1/2 AC mà AC nên suy ra tam giác ABC vuông tại b 

Xét tứ giác ABCD có 

Góc a = 90° góc d bằng 90 độ gấp b = 90° 

Nên ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có : 

DH và AC là hai đường chéo mà DH cắt AC tại I tạo thành ID =IH và IC =IA 

Nên AHCD là hình bình hành 

Mà góc AHC =90° do gt 

Nên AHCD là hình chữ nhật