1. Trường hợp y = 2:

• Phương trình trở thành: x² + 1 = z
• Nếu x = 2, thì z = 2² + 1 = 5 (thỏa mãn)
• Nếu x = 3, thì z = 3² + 1 = 10 (không thỏa mãn)
• Nếu x = 5, thì z = 5² + 1 = 26 (không thỏa mãn)
• ...

2. Trường hợp y > 2:

• Vì y là số nguyên tố và y > 2, nên y là số lẻ.
• Khi đó, x^y + 1 có thể phân tích thành (x + 1)(x^(y-1) - x^(y-2) + ... - x + 1).
• Để x^y + 1 là số nguyên tố, thì x + 1 phải bằng z và (x^(y-1) - x^(y-2) + ... - x + 1) phải bằng 1.
• Điều này chỉ xảy ra khi x = 1, nhưng 1 không phải là số nguyên tố.

3. Trường hợp x = 2:

• Phương trình trở thành: 2^y + 1 = z
• Nếu y = 2, thì z = 2² + 1 = 5 (thỏa mãn)
• Nếu y = 3, thì z = 2³ + 1 = 9 (không thỏa mãn)
• Nếu y = 5, thì z = 2⁵ + 1 = 33 (không thỏa mãn)
• Nếu y = 7, thì z = 2⁷ + 1 = 129 (không thỏa mãn)
• ...

4. Trường hợp x > 2:

• Vì x là số nguyên tố và x > 2, nên x là số lẻ.
• Khi đó, x^y là số lẻ.
• Suy ra, x^y + 1 là số chẵn.
• Vì z là số nguyên tố, nên z phải bằng 2.
• Điều này không thể xảy ra vì x^y + 1 > 2.

Kết luận:

• Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình x^y + 1 = z là x = 2, y = 2, z = 5.