Bài 1: Cho \(\triangle A B C\) vuông tại A (\(A B < A C\)), đường cao \(A H\). Trên cạnh \(A C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(A E = A B\). Kẻ \(E F \bot A H\) tại \(F\), \(E K \bot B C\) tại \(K\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B E\). Chứng minh:
a) \(A H = H K\)
b) \(H M\) là đường trung trực của \(A K\)

Lời giải:
a) Chứng minh \(A H = H K\)

Xét \(\triangle A B E\) có \(A B = A E\) nên \(\triangle A B E\) cân tại \(A\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(B E\) nên \(A M\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\triangle A B E\).
Suy ra \(A M \bot B E\).
Ta có: \(E F \bot A H\) và \(E K \bot B C\)
Xét tứ giác \(A F E K\) có \(\angle A F E = 9 0^{\circ}\) và \(\angle A K E = 9 0^{\circ}\) nên \(\angle A F E + \angle A K E = 18 0^{\circ}\).
Suy ra tứ giác \(A F E K\) là tứ giác nội tiếp.
Khi đó \(\angle F A E = \angle F K E\) (cùng chắn cung \(F E\)).
Mà \(\angle F A E = 9 0^{\circ} - \angle B\) nên \(\angle F K E = 9 0^{\circ} - \angle B\).
Ta có \(\angle H K A = 9 0^{\circ} - \angle F K E = 9 0^{\circ} - \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle B \left.\right) = \angle B\).
Xét \(\triangle A B H\) và \(\triangle K B H\) có:
\(\angle B A H = \angle B K H = 9 0^{\circ}\)
\(B H\) chung
\(\angle A B H = \angle H K B\)
Suy ra \(\triangle A B H = \triangle K B H\) (cạnh huyền - góc nhọn).
Vậy \(A H = H K\) (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh \(H M\) là đường trung trực của \(A K\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(A K\) và \(H M\).
Ta có \(M\) là trung điểm của \(B E\) và \(A M \bot B E\) nên \(A M\) là đường trung trực của \(B E\).
Suy ra \(A E = A B\).
Xét \(\triangle A H M\) và \(\triangle H K M\) có:
\(A H = H K\) (chứng minh trên)
\(H M\) chung
\(A M = K M\) (\(M\) thuộc đường trung trực của \(A K\))
Suy ra \(\triangle A H M = \triangle H K M\) (c.c.c)
Do đó \(\angle A H M = \angle K H M\)
Mà \(\angle A H M + \angle K H M = 18 0^{\circ}\) nên \(\angle A H M = \angle K H M = 9 0^{\circ}\).
Vậy \(H M\) là đường trung trực của \(A K\).

Bài 2: Cho tam giác đều \(A B C\), trên \(A C\) lấy điểm \(E\) bất kì. Đường thẳng vuông góc với \(A B\) kẻ từ \(E\) cắt đường thẳng vuông góc với \(B C\) kẻ từ \(C\) ở \(D\). Dựng hình bình hành \(A D E F\).
a) Chứng minh: \(\triangle D E C\) cân.
b) Chứng minh: \(\triangle B A F = \triangle B C D\)
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(A E\) và \(D F\). Tính số đo góc \(\angle O B D\).

Lời giải:

a) Chứng minh \(\triangle D E C\) cân.
Ta có \(E D \bot A B\) và \(A B \bot B C\) nên \(\angle A E D = 9 0^{\circ}\).
Mà \(\triangle A B C\) đều nên \(\angle A C B = 6 0^{\circ}\).
Suy ra \(\angle E C D = 9 0^{\circ}\).
Xét \(\triangle D E C\) có \(\angle E D C = 18 0^{\circ} - \angle D E C - \angle E C D = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}\).
Ta có \(\angle D E C = 9 0^{\circ} - \angle B A C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}\).
Vậy \(\triangle D E C\) cân tại \(C\).

b) Chứng minh: \(\triangle B A F = \triangle B C D\)
Vì \(A D E F\) là hình bình hành nên \(A F / / E D\) và \(A F = E D\).
Mà \(E D \bot A B\) nên \(A F \bot A B\).
Suy ra \(\angle B A F = 9 0^{\circ}\).
Ta có \(C D \bot B C\) nên \(\angle B C D = 9 0^{\circ}\).
Suy ra \(\angle B A F = \angle B C D = 9 0^{\circ}\).
Xét \(\triangle B A F\) và \(\triangle B C D\) có:
\(A B = B C\) (\(\triangle A B C\) đều)
\(\angle B A F = \angle B C D = 9 0^{\circ}\)
\(A F = C D\) (\(= D E\))
Suy ra \(\triangle B A F = \triangle B C D\) (c.g.c)

c) Tính số đo góc \(\angle O B D\).
Gọi \(O\) là giao điểm của \(A E\) và \(D F\). Vì \(A D E F\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(A E\) và \(D F\).
Ta có \(\triangle B A F = \triangle B C D\) (chứng minh trên) nên \(B F = B D\) (hai cạnh tương ứng).
Suy ra \(\triangle B D F\) cân tại \(B\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(D F\) thì \(B M \bot D F\).
Khi đó \(B M\) là đường trung trực của \(D F\) và \(O \in B M\) nên \(B O\) là phân giác của \(\angle D B F\).
Ta có \(\angle A B C = 6 0^{\circ}\), \(\angle B A F = \angle B C D = 9 0^{\circ}\) và \(\triangle B A F = \triangle B C D\) nên \(\angle A B F = \angle C B D\).
Suy ra \(\angle A B F + \angle F B C = \angle C B D + \angle F B C\) hay \(\angle A B C = \angle D B F = 6 0^{\circ}\).
Vậy \(\angle O B D = \frac{1}{2} \angle D B F = \frac{1}{2} \cdot 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}\).

• ô tô: từ mượn tiếng Pháp "auto"
• tắc – xi: từ mượn tiếng Pháp "taxi"
• xe buýt: từ mượn tiếng Anh "bus"
• bi – a: từ mượn tiếng Pháp "billard"
• bô – linh: từ mượn tiếng Anh "bowling"
• cà phê: từ mượn tiếng Pháp "café" 

• xe máy: từ ghép chính phụ (xe là yếu tố chính, máy là yếu tố phụ)
• xây dựng: từ ghép đẳng lập (cả hai tiếng đều có nghĩa và bình đẳng nhau)
• dưa hấu: từ ghép chính phụ
• trăng trắng: từ láy bộ phận (láy âm đầu "tr")
• tím ngắt: từ ghép chính phụ (ngắt là yếu tố phụ bổ sung mức độ cho tím)

Có, lực ly tâm cực mạnh hoàn toàn có thể triệt tiêu hoặc vượt qua trọng lực (lực hút Trái Đất), khiến vật thể có cảm giác "nhẹ bẫng" hoặc bay lên, như trong máy quay ly tâm

Nhật Bản được mệnh danh là "Đất nước Mặt Trời mọc" vì tên gọi trong tiếng Nhật có nghĩa là "gốc của Mặt Trời"

1. Chu vi một khung ảnh:
2. • Chu vi = 2 x (cạnh 1 + cạnh 2) = 2 x (12cm + 18cm) = 2 x 30cm = 60cm.
3. Tổng ruy-băng cho 50 khung (vòng quanh):
4. • 60cm/khung x 50 khung = 3000cm.
5. Tổng ruy-băng làm nơ:
6. • 30cm/khung x 50 khung = 1500cm.
7. Tổng chiều dài ruy-băng cần mua (cm):
8. • 3000cm (vòng quanh) + 1500cm (nơ) = 4500cm.
9. Đổi sang mét:
10. • 4500cm = 45 mét.
11. Tổng số tiền:
12. • 45 mét x 12.000 đồng/mét = 540.000 đồng.

Loài hoa lớn nhất thế giới là Rafflesia arnoldii (còn gọi là hoa xác thối), có nguồn gốc từ các khu rừng nhiệt đới ở Sumatra và Borneo. Loài hoa này nổi bật với kích thước khổng lồ, có thể đạt đường kính lên đến 1 mét hoặc hơn và nặng gần 10kg. Điểm đặc trưng khác là nó có mùi hôi thối nồng nặc giống như thịt thối rữa để thu hút côn trùng thụ phấn

Bài 2 (3 điểm):
Cho tam giác DEF vuông tại D có DE ≥ DF, M là điểm bất kì trên cạnh EF (M khác E, khác F). Kẻ MN vuông góc với DE, kẻ MK vuông góc với DF (N thuộc DE, K thuộc DF). Trên tia đối của tia NM lấy điểm H sao cho NH = NM.

a) Tứ giác DKMN là hình gì? Vì sao?
Vì tam giác DEF vuông tại D nên ta có \(\angle E D F = 9 0^{\circ}\).
Theo giả thiết, MN vuông góc với DE tại N, suy ra \(\angle M N E = 9 0^{\circ}\). Vì N thuộc DE, ta có \(\angle M N D = 9 0^{\circ}\).
Theo giả thiết, MK vuông góc với DF tại K, suy ra \(\angle M K F = 9 0^{\circ}\). Vì K thuộc DF, ta có \(\angle M K D = 9 0^{\circ}\).
Xét tứ giác DKMN, ta có:
\(\angle K D N = \angle E D F = 9 0^{\circ}\) (do N thuộc DE, K thuộc DF).
\(\angle M N D = 9 0^{\circ}\) (do MN ⊥ DE).
\(\angle M K D = 9 0^{\circ}\) (do MK ⊥ DF).
Một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng vuông. Do đó, \(\angle D M N = 9 0^{\circ}\).
Tứ giác DKMN có bốn góc vuông, nên DKMN là hình chữ nhật.

b) Tứ giác DKNH là hình gì? Vì sao?
Từ câu a), ta biết DKMN là hình chữ nhật. Do đó, ta có các tính chất: DK // NM và DK = NM, DN // KM và DN = KM.
Theo giả thiết, H nằm trên tia đối của tia NM và NH = NM. Điều này có nghĩa là N là trung điểm của đoạn thẳng MH.
Xét tam giác DMH, ta có DN là đường trung tuyến ứng với cạnh MH.
Vì DKMN là hình chữ nhật, ta có DK // NM.
Do H nằm trên tia đối của tia NM, nên DK // NH.
Cũng từ giả thiết NH = NM, và DK = NM (do DKMN là hình chữ nhật), suy ra DK = NH.
Tứ giác DKNH có một cặp cạnh đối DK và NH song song và bằng nhau.
Do đó, tứ giác DKNH là hình bình hành.
Mặt khác, ta có DK ⊥ DE (vì K thuộc DF và DEF vuông tại D). Và DN ⊥ DE (vì N thuộc DE và MN ⊥ DE).
Xét góc \(\angle K D N\). Trong hình chữ nhật DKMN, \(\angle K D N = 9 0^{\circ}\).
Vì DKNH là hình bình hành có một góc vuông (\(\angle K D N = 9 0^{\circ}\)), nên DKNH là hình chữ nhật.

c) Trong trường hợp M là trung điểm EF, gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng.
Đặt hệ tọa độ Đề-các với gốc tọa độ tại D, trục Ox trùng với tia DE, trục Oy trùng với tia DF.
Do tam giác DEF vuông tại D, ta có D = (0, 0). Gọi E = (\(e\), 0) và F = (0, \(f\)) với \(e > 0 , f > 0\).
Vì MN ⊥ DE và N thuộc DE, MK ⊥ DF và K thuộc DF, nên N là hình chiếu của M lên DE, K là hình chiếu của M lên DF.
Do đó, tọa độ của N là (\(x_{M}\), 0) và tọa độ của K là (0, \(y_{M}\)), với M = (\(x_{M}\), \(y_{M}\)).
Vì DKMN là hình chữ nhật, \(\angle K D N = 9 0^{\circ}\), \(\angle M N D = 9 0^{\circ}\), \(\angle M K D = 9 0^{\circ}\).
Tam giác DEF vuông tại D, AH là đường cao. E, D là hình chiếu của H lên AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật.
Theo giả thiết, AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH ⊥ BC.
E là hình chiếu của H lên AC, nên HE ⊥ AC, suy ra \(\angle A E H = 9 0^{\circ}\).
D là hình chiếu của H lên AB, nên HD ⊥ AB, suy ra \(\angle A D H = 9 0^{\circ}\).
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên \(\angle B A C = 9 0^{\circ}\).
Xét tứ giác AEHD, ta có \(\angle D A E = \angle B A C = 9 0^{\circ}\), \(\angle A E H = 9 0^{\circ}\), \(\angle A D H = 9 0^{\circ}\).
Tứ giác AEHD có ba góc vuông, nên góc còn lại cũng vuông. Tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

b) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh E, O, D thẳng hàng.
Vì AEHD là hình chữ nhật, hai đường chéo AD và HE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ta có AH là đường chéo của hình chữ nhật AEHD.
Trong hình chữ nhật AEHD, các đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi O là trung điểm của AH. Vì O là trung điểm của đường chéo AH, nên O cũng là trung điểm của đường chéo ED.
Do O là trung điểm của ED, ba điểm E, O, D thẳng hàng.

c) Trên tia đối của tia AE lấy điểm M sao cho AM = AE. Tia MD cắt BH tại K. Gọi I là trung điểm của MK. Chứng minh AQ // MD và C, O, I thẳng hàng.

• Chứng minh AQ // MD:
  Ta có AEHD là hình chữ nhật, nên AE = HD và AE // HD.
  Theo giả thiết, M thuộc tia đối của tia AE, nên A nằm giữa M và E. AM = AE.
  Do A là trung điểm của ME, và HD // AE, suy ra HD // AM.
  Xét tam giác MEH, A là trung điểm của ME, AD // MH (vì AD là đường cao trong tam giác vuông, HD song song với AC, AB).
  Xét tam giác MEK.
  Trong hình chữ nhật AEHD, \(\angle H D A = 9 0^{\circ}\).
  Ta xét \(\triangle A D M\).
  Xét tam giác MEK có A là trung điểm của ME, và AD // MK (vì AD // BH, K nằm trên BH). Theo định lý đường trung bình trong tam giác MEK, ta có D là trung điểm của MK. Điều này mâu thuẫn với việc K là giao điểm của MD và BH.
  Cần xem lại giả thiết và hình vẽ.
  Giả thiết: M thuộc tia đối của tia AE, AM = AE. A nằm giữa M và E.
  AEHD là hình chữ nhật. HE ⊥ AC, HD ⊥ AB.
  \(\angle H D A = 9 0^{\circ}\), \(\angle H E A = 9 0^{\circ}\).
  AE = HD, HE = AD.
  Do M-A-E thẳng hàng và AM = AE, A là trung điểm của ME.
  Vì AEHD là hình chữ nhật, AE // HD.
  Xét tam giác MEK, có A là trung điểm của ME, và AD // HK (vì D thuộc AB, K thuộc BH, BH là đường cao hạ từ B xuống AC. Đây là mâu thuẫn, BH là đường cao hạ từ B xuống AC).
  Giả thiết của bài 3c): "Tia MD cắt BH tại K". BH là đường cao của tam giác ABC hạ từ B. Do ABC vuông tại A, BH là đường cao nên BH ⊥ AC.
  Ta có HE ⊥ AC và BH ⊥ AC. Suy ra HE // BH. Điều này chỉ xảy ra khi H, E, B thẳng hàng, hoặc AC vuông góc với cả HE và BH.
  Vì HE ⊥ AC và BH ⊥ AC, suy ra HE // BH. Nếu H, E, B không trùng nhau, thì E và B phải nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với AC. Điều này không thể xảy ra trong tam giác ABC thông thường.
  Có thể có nhầm lẫn về ký hiệu BH là đường cao. Nếu BH là đường cao hạ từ B, thì H phải nằm trên AC. Nhưng đề bài cho H là chân đường cao AH.
  Xem lại đề bài: "Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (AB < AC). Gọi E, D lần lượt là hình chiếu của H lên AC, AB."
  Vậy AH ⊥ BC. E trên AC, D trên AB. HE ⊥ AC, HD ⊥ AB.
  Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH.
  E là hình chiếu của H trên AC, nên HE ⊥ AC.
  D là hình chiếu của H trên AB, nên HD ⊥ AB.
  AEHD là hình chữ nhật (đã cm ở a).
  Trong hình chữ nhật AEHD, \(\angle H D A = 9 0^{\circ}\), \(\angle H E A = 9 0^{\circ}\). AE = HD, AD = HE.
  M thuộc tia đối của tia AE, AM = AE. Nên A là trung điểm của ME.
  Ta có AD // HE và AD = HE.
  Xét \(\triangle M E K\). A là trung điểm của ME. AD // EK (vì AD // HE và E, K, H thẳng hàng không chắc chắn).
  AD // HE (cạnh hình chữ nhật).
  BH là đường cao của \(\triangle A B C\) hạ từ B. BH ⊥ AC.
  Ta có HE ⊥ AC và BH ⊥ AC. Suy ra HE // BH. Điều này có nghĩa là H, E, B thẳng hàng hoặc AC vuông góc với BH và HE tại H, E, B tương ứng.
  Nếu BH là đường cao hạ từ B, thì H phải nằm trên AC. Nhưng đề cho H là chân đường cao AH.
  Có sự mâu thuẫn trong giả thiết "Tia MD cắt BH tại K", nếu BH là đường cao hạ từ B.
  Giả định rằng "BH" trong câu c) là đường thẳng qua B và H.
  Xét \(\triangle A B H\).
  AD là đường cao của tam giác ABC. AD ⊥ AB.
  HD ⊥ AB.
  Trong \(\triangle A B H\), ta có AD ⊥ AB.
  Nếu xét \(\triangle M E K\), A là trung điểm của ME, AD // HE.
  Để chứng minh AQ // MD, ta cần AQ và MD song song.
  Trong \(\triangle A B H\), D là hình chiếu của H trên AB, nên \(\angle H D A = 9 0^{\circ}\). AEHD là hình chữ nhật, nên AD = HE.
  Do A là trung điểm của ME, và AD // HE, suy ra D là trung điểm của MK.
  Xét tam giác MEK: A là trung điểm của ME, D là trung điểm của MK (do AD // HE và AM = AE).
  Suy ra AD là đường trung bình của tam giác MEK. Vậy AD // EK và AD = EK/2.
  Ta cần chứng minh AQ // MD.
  Điểm Q không được định nghĩa trong bài toán. Giả sử Q là một điểm nào đó hoặc có sự nhầm lẫn trong đề bài.
  Nếu giả sử đề bài muốn chứng minh AD // MD, điều này là sai.

  Giả sử đề bài có lỗi và không thể giải tiếp câu c).

  Nếu đề bài là "Chứng minh AD // MD" thì sai.
  Nếu đề bài là "Chứng minh AD // CK" thì AD // HE. C, K, H không thẳng hàng.
  Xem lại các nguồn bài tương tự: Thường thì A là trung điểm ME, AD // HE => D là trung điểm MK.
  Với giả định D là trung điểm MK:
  Ta có AEHD là hình chữ nhật nên AD = HE.
  A là trung điểm ME. AD // HE. Suy ra D là trung điểm MK.
  Do đó \(\overset{⃗}{M D} = \overset{⃗}{D K}\).
  Ta cần chứng minh AQ // MD. Nếu Q là một điểm nào đó sao cho \(\overset{⃗}{A Q}\) cùng phương với \(\overset{⃗}{M D}\).
  Xét \(\triangle C B H\). C, O, I thẳng hàng.
  O là trung điểm AH. I là trung điểm MK.
  Do D là trung điểm MK, I là trung điểm MK. Nên I = D. (Điều này xảy ra nếu M, D, K thẳng hàng, và D là trung điểm MK).
  Nếu I = D, ta cần chứng minh C, O, D thẳng hàng.
  O là trung điểm AH.
  Trong \(\triangle A B C\), O là trung điểm AH. D là điểm trên AB sao cho HD ⊥ AB.
  C, O, D thẳng hàng có nghĩa là O nằm trên đường thẳng CD.
  Trong \(\triangle A H C\), O là trung điểm AH.
  Trong \(\triangle A B C\), OD có thể là đường trung bình nếu OA=OC và OD // BC. Nhưng O là trung điểm AH, không phải AC.
  Có khả năng lớn là đề bài có lỗi hoặc thiếu thông tin về điểm Q. Chúng tôi sẽ dừng lại ở đây cho bài 3c.

Bài 4 (0,5 điểm):
Một khu dân cư muốn xây dựng một hồ lọc sinh học hình chữ nhật để xử lý nước thải. Họ có tổng cộng 600 mét vật liệu để xây hàng rào bao quanh hồ và một hàng rào phụ chia hồ thành hai khu vực hình chữ nhật bằng nhau (hai khu vực sát nhau, chung một hàng rào chia).
Hỏi khu dân cư nên thiết kế kích thước hồ lọc như thế nào (chiều dài và chiều rộng) để tổng diện tích hồ lọc là lớn nhất?

Gọi chiều dài của hồ lọc là \(L\) (mét) và chiều rộng là \(W\) (mét).
Hàng rào bao quanh hồ có chu vi là \(2 L + 2 W\).
Hàng rào phụ chia hồ thành hai khu vực bằng nhau, tức là một hàng rào song song với cạnh \(W\) và có chiều dài là \(W\).
Tổng chiều dài vật liệu là 600 mét. Ta có phương trình:
\(\left(\right. 2 L + 2 W \left.\right) + W = 600\)
\(2 L + 3 W = 600\)

Diện tích hồ lọc là \(S = L \times W\).
Ta cần tối đa hóa diện tích \(S\).
Từ phương trình vật liệu, ta biểu diễn \(L\) theo \(W\):
\(2 L = 600 - 3 W\)
\(L = 300 - \frac{3}{2} W\)

Thay \(L\) vào công thức diện tích:
\(S \left(\right. W \left.\right) = \left(\right. 300 - \frac{3}{2} W \left.\right) \times W\)
\(S \left(\right. W \left.\right) = 300 W - \frac{3}{2} W^{2}\)

Đây là một hàm bậc hai của \(W\) có dạng \(a W^{2} + b W + c\) với \(a = - \frac{3}{2} < 0\). Đồ thị của hàm này là một parabol hướng xuống, nên nó có giá trị cực đại tại đỉnh.
Hoành độ đỉnh (giá trị \(W\) để diện tích lớn nhất) được tính bằng công thức \(W = - \frac{b}{2 a}\).
\(W = - \frac{300}{2 \times \left(\right. - \frac{3}{2} \left.\right)} = - \frac{300}{- 3} = 100\) mét.

Khi \(W = 100\) mét, ta tính \(L\):
\(L = 300 - \frac{3}{2} \times 100 = 300 - 3 \times 50 = 300 - 150 = 150\) mét.

Vậy, để tổng diện tích hồ lọc là lớn nhất, khu dân cư nên thiết kế hồ lọc có chiều dài là 150 mét và chiều rộng là 100 mét.

Bài 5 (0,5 điểm):
Một nông dân muốn xây dựng một nhà kính hình chữ nhật để trồng rau. Ông có 100 mét hàng rào lưới thép để làm ba mặt của nhà kính. Mặt thứ tư là bức tường nhà có sẵn nên không cần hàng rào.
Hỏi ông nông dân nên thiết kế nhà kính với kích thước (chiều rộng và chiều dài) như thế nào để diện tích nhà kính là lớn nhất?

Gọi chiều dài của nhà kính là \(L\) (mét) và chiều rộng là \(W\) (mét).
Nhà kính có hình chữ nhật. Một mặt là tường nhà có sẵn, nên ông chỉ cần rào ba mặt còn lại.
Có hai trường hợp cho ba mặt cần rào:
Trường hợp 1: Chiều dài \(L\) là cạnh có tường nhà. Ba mặt cần rào là hai cạnh \(W\) và một cạnh \(L\).
Tổng chiều dài hàng rào là \(L + 2 W = 100\).
Diện tích nhà kính là \(S = L \times W\).
Từ phương trình hàng rào, ta biểu diễn \(L\) theo \(W\): \(L = 100 - 2 W\).
Thay vào công thức diện tích: \(S \left(\right. W \left.\right) = \left(\right. 100 - 2 W \left.\right) \times W = 100 W - 2 W^{2}\).
Đây là hàm bậc hai có \(a = - 2 < 0\). Giá trị lớn nhất đạt được tại \(W = - \frac{b}{2 a} = - \frac{100}{2 \times \left(\right. - 2 \left.\right)} = - \frac{100}{- 4} = 25\) mét.
Khi đó, \(L = 100 - 2 \times 25 = 100 - 50 = 50\) mét.
Diện tích lớn nhất trong trường hợp này là \(S = 50 \times 25 = 1 , 250\) mét vuông.

Trường hợp 2: Chiều rộng \(W\) là cạnh có tường nhà. Ba mặt cần rào là hai cạnh \(L\) và một cạnh \(W\).
Tổng chiều dài hàng rào là \(2 L + W = 100\).
Diện tích nhà kính là \(S = L \times W\).
Từ phương trình hàng rào, ta biểu diễn \(W\) theo \(L\): \(W = 100 - 2 L\).
Thay vào công thức diện tích: \(S \left(\right. L \left.\right) = L \times \left(\right. 100 - 2 L \left.\right) = 100 L - 2 L^{2}\).
Đây là hàm bậc hai có \(a = - 2 < 0\). Giá trị lớn nhất đạt được tại \(L = - \frac{b}{2 a} = - \frac{100}{2 \times \left(\right. - 2 \left.\right)} = - \frac{100}{- 4} = 25\) mét.
Khi đó, \(W = 100 - 2 \times 25 = 100 - 50 = 50\) mét.
Diện tích lớn nhất trong trường hợp này là \(S = 25 \times 50 = 1 , 250\) mét vuông.

Trong cả hai trường hợp, để diện tích nhà kính lớn nhất, kích thước cần thiết là một cạnh dài 50 mét và hai cạnh rộng 25 mét, hoặc ngược lại. Tuy nhiên, thông thường "chiều dài" chỉ cạnh lớn hơn và "chiều rộng" chỉ cạnh nhỏ hơn.
Nếu xét chiều dài là cạnh song song với bức tường nhà, thì chiều dài là 50 mét và chiều rộng là 25 mét.
Nếu xét chiều rộng là cạnh song song với bức tường nhà, thì chiều rộng là 50 mét và chiều dài là 25 mét.

Để diện tích nhà kính lớn nhất, ông nông dân nên thiết kế nhà kính có kích thước là 50 mét (cạnh song song với tường nhà) và 25 mét (hai cạnh vuông góc với tường nhà).