AB // \(D E\).

Theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

\(\frac{C A}{C E} = \frac{C B}{C D} = \frac{A B}{D E} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)

Hay:

\(\frac{C B}{C D} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{x}{7 , 2} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(x = \frac{7 , 2. \&\text{nbsp}; 1}{3} = 2 , 4\)

\(\frac{C A}{C E} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{3}{y} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(y = \frac{3.3}{1} = 9\).

x+1​=52x+5​

\(\frac{5 \left(\right. x + 1 \left.\right)}{15} = \frac{3 \left(\right. 2 x + 5 \left.\right)}{15}\)

\(5 x + 5 = 6 x + 15\)

\(5 x - 6 x = 15 - 5\)

\(- x = 10\)

\(x = - 10\).

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left{\right. - 10 \left.\right}\).

a)  Với \(x \neq \&\text{nbsp}; \frac{1}{3}\), \(x \neq - \frac{1}{3}\). ta có:

\(P = \&\text{nbsp}; \left(\right. \frac{2 x}{3 x + 1} - 1 \left.\right) : \left(\right. 1 - \frac{8 x^{2}}{9 x^{2} - 1} \left.\right)\)

\(= \frac{2 x - 3 x - 1}{3 x + 1} : \frac{9 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{9 x^{2} - 1}\)

\(= \frac{- \left(\right. x + 1 \left.\right)}{3 x + 1} . \frac{9 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}\)

\(= \frac{- \left(\right. x + 1 \left.\right)}{3 x + 1} . \frac{\left(\right. 3 x + 1 \left.\right) \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)}{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{1 - 3 x}{x - 1}\).

b) Thay \(x = 2\) vào biểu thức ta có:

     \(P = \frac{1 - 3.2}{2 - 1} = - 5\).

a) \(\frac{2 y - 1}{y} - \frac{2 x + 1}{x}\)

\(= \frac{x \left(\right. 2 y - 1 \left.\right)}{x y} - \frac{y \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{x y}\)

\(= \frac{2 x y - x - 2 x y - y}{x y} = \frac{- x - y}{x y}\).

b) \(\frac{2 x}{3} : \frac{5}{6 x^{2}}\)

\(\frac{2 x}{3} : \frac{5}{6 x^{2}} = \frac{2 x}{3} . \frac{6 x^{2}}{5}\)

\(= \frac{4 x^{3}}{5}\).

Phương trình đã cho trở thành

\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - 2 \geq 0\)

\(\frac{4 x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4} - 2 x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\frac{- \left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \left[\right. \frac{1}{x^{2} y^{2}} - \frac{1}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \left]\right. \geq 0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \frac{x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\) hoặc \(x = - y\).

Chứng minh được: \(\Delta \&\text{nbsp}; A B C \sim \Delta \&\text{nbsp}; H B A\) (g.g)

Từ đó suy ra \(A B^{2} = B C . B H\)

\(\hat{A E D} = \hat{A D E}\) (Cùng phụ với \(\hat{A B D} = \hat{C B D}\))

Suy ra \(\Delta A E D\) cân tại \(A\) suy ra \(A I\) vuông góc với \(D E\) tại \(I\).

Chứng minh \(\Delta E H B\) và \(\Delta E I A\) đồng dạng (g.g).

Từ đó suy ra \(\frac{E I}{E H} = \frac{E A}{E B}\) nên \(E I . E B = E H . E A\).

Gọi \(x\) (km) là quãng đường \(A B\).

Điều kiện: \(x > 0\).

Thời gian người đó đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{x}{15}\) (h);

Thời gian lúc về của người đó là: \(\frac{x}{12}\) (h).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi \(45\) phút \(= \frac{3}{4}\) (h), nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{5 x}{60} - \frac{4 x}{60} = \frac{45}{60}\)

\(5 x - 4 x = 45\)

\(x = 45\) (TMĐK)

Vậy quãng đường \(A B\) dài \(45\) (km).

a) \(A = \frac{3 x + 15}{x^{2} - 9} + \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{x - 3}\) (với \(x \neq 3\), \(x \neq - 3\))

\(A = \frac{3 x + 15}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)} + \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{x - 3}\)

\(A = \frac{3 x + 15 + x - 3 - 2 x - 6}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)}\)

\(A = \frac{2 x + 6}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)}\)

\(A = \frac{2}{x - 3}\).

b) Để \(A = \frac{2}{3}\) thì \(\frac{2}{x - 3} = \frac{2}{3}\)

\(x - 3 = 3\)

\(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(x = 6\) thì \(A = \frac{2}{3}\).

Ta có \(x^{2} - 4 x + 9 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + 5 \geq 5\).

Suy ra \(B = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 9} = \frac{1}{\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + 5} \leq \frac{1}{5}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 2\).

a) Rút gọn \(A = \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2}}{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} = \frac{x - 1}{x + 1}\).

b) Với \(x = 3\) thì \(A = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}\)

Với \(x = \frac{3}{2}\) thì \(A = \frac{- \frac{3}{2} - 1}{- \frac{3}{2} + 1} = 5\)

c) Ta có biến đối: \(A = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 + \frac{- 2}{x + 1}\).

Để biểu thức \(A\) nguyên khi \(\frac{- 2}{x + 1}\) hay \(x + 1\) là ước của \(- 2\).

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x\) có giá trị \(- 2 ; - 3 ; 0\) thì biểu thức \(A\) nguyên.