không

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau => E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC.

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC => ED // BC và BC = 2ED.

Vì ED // BC$ nên tứ giác BEDC là hình thang.

Xét hình thang BEDC có M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD (gt).

=> MN là đường trung bình của hình thang BEDC => MN // ED // BC.

Xét tam giác BED có:

• M là trung điểm của BE (gt)
• MI // ED (vì I ∈ MN và MN // ED)
  => I là trung điểm của BD.
  => MI là đường trung bình của tam giác BED => MI = 1/2ED (1).

Xét tam giác CED có:

• N là trung điểm của CD (gt)
• NK // ED (vì K ∈ MN và MN // ED)
  => K là trung điểm của CE.
  => KN là đường trung bình của tam giác CED => KN = 1/2ED (2).

Xét tam giác EBC có:

• M là trung điểm của BE (gt)
• MK // BC (vì K ∈ MN và MN // BC)
  => MK là đường trung bình của tam giác EBC => MK = 1/2 BC.
  Mà BC = 2ED => MK = ED.

Ta có: IK = MK - MI = ED - 1/2ED = 1/2ED (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MI = IK = KN (cùng bằng 1/2ED).

a) Chứng minh MN // DE

Để chứng minh hai đường thẳng này song song, chúng ta sẽ chứng minh chúng cùng song song với cạnh BC.

+ Xét tam giác ABC:

1. • M là trung điểm của AC (vì BM là đường trung tuyến).
   • N là trung điểm của AB (vì CN là đường trung tuyến).
   • Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
   • => BC và MN = 1/2BC(1).

+ Xét tam giác GBC:

1. • D là trung điểm của GB (giả thiết).
   • E là trung điểm của GC (giả thiết).
   • Suy ra DE là đường trung bình của tam giác GBC.
   • => DE // BC và DE = 1/2BC (2).

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có: MN//DE (đpcm).

b) Chứng minh ND // ME

+ Từ kết quả ở câu (a), ta đã có:

1. • MN // DE
   • MN = DE (vì cùng bằng 1/2BC).

+ Xét tứ giác MNDE:

• • MN // DE
  • MN = DE

=> Tứ giác MNDE là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì MNDE là hình bình hành, nên cặp cạnh đối còn lại phải song song với nhau:

=>ND // ME (đpcm).

Kẻ thêm đường phụ: Gọi E là trung điểm của MC. Kẻ đoạn thẳng DE.

• Vì E là trung điểm MC nên ME = EC = 1/2MC.

Theo giả thiết AM = 1/2MC, suy ra AM = ME = EC (ba đoạn này bằng nhau).

a) Chứng minh O là trung điểm của AD

• Xét tam giác BCM:
• • Có D là trung điểm BC (giả thiết).
  • Có E là trung điểm MC (cách vẽ).
  • Suy ra DE là đường trung bình của tam giác BCM.
  • Do đó DE // BM (hay DE // OM).
• Xét tam giác ADE:
• • Có M là trung điểm của AE (vì AM = ME như đã chứng minh ở trên).
  • Có OM // DE (chứng minh trên).
  • Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Vậy O là trung điểm của AD.

b) Chứng minh OM = 1/4 BM

• Từ các chứng minh trên, ta có:
• • OM là đường trung bình của tam giác ADE => OM = 1/2DE.
  • DE là đường trung bình của tam giác BCM => DE = 1/2BM.
• Thay thế các đại lượng:
• • Ta có OM = 1/2⋅(1/2BM).

Vậy OM = 1/4BM.

Kẻ thêm đường phụ: Gọi E là trung điểm của DC. Kẻ đoạn thẳng ME.

a) Chứng minh AD = 1/2 DC

• Xét tam giác BDC:
• • Có M là trung điểm BC (giả thiết).
  • Có E là trung điểm DC (cách vẽ).
  • Suy ra ME là đường trung bình của tam giác BDC.
  • Do đó ME // BD$ (hay ME // ID).
• Xét tam giác AME:
• • Có I là trung điểm AM (giả thiết).
  • Có ID // ME (chứng minh trên).
  • Suy ra D là trung điểm của AE (theo định lý đường trung bình).
  • Do đó AD = DE.
• Kết luận:
• • Vì E là trung điểm DC nên DE = EC = 1/2 DC
  • Mà AD = DE nên AD = 1/2 DC (đpcm).

b) So sánh độ dài BD và ID

• Từ chứng minh ở câu a, ta có:
• • ME là đường trung bình của tam giác BDC => BD = 4ME.
  • ID là đường trung bình của tam giác AME => ME = 2ID.
• Thay thế các đại lượng:
• • Ta có BD = 2 ⋅ (2ID) = 4ID.
• Kết luận: Độ dài BD = 4ID.

ko ai hỏi cả nhưng tớ 8 điểm

tại ba ko chỉ lan mua thịt

chưa cái này là ko biết tính

144

Chào bạn, đây là một bài toán hình học rất thú vị giúp ôn tập lại tính chất của các loại tứ giác. Chúng ta hãy cùng giải quyết từng câu một nhé.

Giả thiết:

• $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($\angle A = 90^\circ$).
• $M$ là trung điểm $AC$ ($MA = MC$).
• $M$ là trung điểm $BD$ ($MB = MD$).

A) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, cách nhanh nhất trong trường hợp này là dựa vào hai đường chéo.

1. Xét tứ giác $ABCD$, ta có:
2. • $M$ là trung điểm của đường chéo $AC$ (theo giả thiết).
   • $M$ là trung điểm của đường chéo $BD$ (theo giả thiết).
3. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường.
4. Kết luận: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

B) Chứng minh tứ giác ACDN là hình chữ nhật

1. Vì $ABCD$ là hình bình hành (chứng minh ở câu A), ta có:
2. • $CD \parallel AB$ và $CD = AB$.
3. Theo giả thiết, $N$ đối xứng với $B$ qua $A$, nghĩa là:
4. • $A$ nằm giữa $N, B$ và $AN = AB$.
5. Từ (1) và (2), ta suy ra:
6. • $CD \parallel AN$ (vì $N, A, B$ thẳng hàng).
   • $CD = AN$ (cùng bằng $AB$).
7. Tứ giác $ACDN$ có một cặp cạnh đối $CD$ và $AN$ vừa song song vừa bằng nhau nên $ACDN$ là hình bình hành.
8. Mặt khác, ta có $\angle BAC = 90^\circ$ ($\triangle ABC$ vuông tại $A$). Vì $N, A, B$ thẳng hàng nên $\angle NAC = 90^\circ$.
9. Kết luận: Hình bình hành $ACDN$ có một góc vuông ($\angle NAC = 90^\circ$) nên là hình chữ nhật.

C) Chứng minh tứ giác EBMN là hình thoi

Để chứng minh $EBMN$ là hình thoi, ta sẽ chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc hoặc các cạnh bằng nhau.

1. Chứng minh $EBMN$ là hình bình hành:
   Cách tiếp cận chính xác hơn:
2. • Trong $\triangle ABN$, ta có $M$ là trung điểm $AC$ (không trực tiếp giúp ích), hãy xét đường trung bình.
   • Thực tế, xét tứ giác $EBMN$:
   • • Ta đã có $BE \parallel MN$ (theo giả thiết).
     • Để $EBMN$ là hình bình hành, ta cần chứng minh $ME \parallel BN$ hoặc $BE = MN$.
     • Xét $\triangle ABC$ có $M$ là trung điểm $AC$ và $ME \parallel BC$ (nếu $E$ được xác định cụ thể hơn). Tuy nhiên, đề bài cho $BE \parallel MN$.
     • Trong $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $AC$, $A$ là trung điểm $NB$. Vậy $AM$ là đường trung bình của $\triangle NBC$? Không hẳn.
     • Xét $\triangle ABN$ vuông tại $A$: $M$ nằm trên đường thẳng chứa cạnh đối diện.
3. • Ta có $MN \parallel BC$ (vì $M, A$ lần lượt là trung điểm $BD, BN$ trong các mối quan hệ hình học đã dựng). Cụ thể: $M$ là trung điểm $AC$, $A$ là trung điểm $BN$. Trong $\triangle NBC$, đường thẳng nối hai trung điểm là đường trung bình.
   • Do đó $MN \parallel BC$ và $MN = \frac{1}{2} BC$.
   • Theo giả thiết $BE \parallel MN$, suy ra $E, B, C$ thẳng hàng (vì qua $B$ chỉ có một đường thẳng song song với $MN$). Vậy $E$ trùng với $C$.
   • Lúc này tứ giác là $CBMN$.
   • $MN = \frac{1}{2} BC$ và $MN \parallel BC$. Đây là hình thang.