ta có:△=\(x^2+4>0\) nên pt đã cho có 2 no phân biệt \(x_1,x_2\) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 1\) và \(x_1.x_2=-1\)\(\)

để p(\(x_1\))=p(\(x_2\))thì:

P(x1​)=P(x2​)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\) [liên hợp ]

đến đây ta đi tính \(x_1-x_2\)

đặt \(x_1-x_2\) =A

➞\(A^2\) =\(\left(x_1+x_2\right)^2\) -4\(x_1x_2\)

\(A^2\) =9

Suy ra A=3 hoặc A=-3

cả 2 trường hợp ta đều có:

1−\(\frac{11}{\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}}\) ​=0

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)

Ta có VT(*) \(= 33.1 + 50 + 2 \sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

để pt đã cho có 2 no phân biệt thì cần phải có thêmđiều kiện △≠0

hay:m-2≠0➜m≠2

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

\(\) \(\) a)
Ta có phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + 2 m - 2 = 0\)

Tính biệt thức \(\Delta^{'}\):

\(\Delta^{'} = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) = m^{2} + 3 > 0\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b)
Ta có:

\(E = x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\) \(= - x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} + x_{1} x_{2}\) \(= \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2}\) \(= \left(\right. 2 m + 2 \left.\right)^{2}\)\(\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là các nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\) và \(x_{3} , x_{4}\) là các nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\).

Vì

\(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\)

nên hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète, ta có:

\({x_1+x_2=-2024;x_1x_2=2:x_3+x_4=-2025;x_3x_4=2}\)

Ta cần tính:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Xét:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Mà \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), nên:

\(x_{1}^{2} + 2024 x_{1} + 2 = 0 \Rightarrow x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

Thay vào:

\(x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2 = - 4049 x_{1}\)

Vậy:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = - 4049 x_{1} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự:

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) cũng là nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), nên:

\(x_{2}^{2} + 2024 x_{2} + 2 = 0 \Rightarrow x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\)

Thay vào:

\(x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

Vậy:

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right) = - 4049 x_{1} x_{2}\)

Mà \(x_{1} x_{2} = 2\), nên:

\(A = - 4049 \times 2 = - 8098\)

Vậy:

\(\boxed{A = - 8098}\)

a)pt đã cho có △=\(x^2+4>0\) nên pt có 2 no phân biệt

b)Vì \(x_{1}\) là nghiệm của (1), nên:

\(x_1^2-mx_1-1=0\Rightarrow x_1^2=mx_1+1(*)\)

Tương tự, vì \(x_{2}\) là nghiệm của (1), nên:

\(x_2^2-mx_2-1=0\Rightarrow x_2^2=mx_2+1(**)\)

Thế \(\left(\right. * \left.\right)\) và \(\left(\right. * * \left.\right)\) vào biểu thức:

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

ta được:

\(A = \frac{\left(\right. m x_{1} + 1 \left.\right) + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m x_{2} + 1 \left.\right) + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

rút gọn:

\(A = \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2}}{x_{2}}\) \(A = \left(\right. m + 1 \left.\right) - \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(A = 0\)