Cho hình bình hành \(A B C D\).

• Kẻ \(A H \bot B D\) tại \(H\)
• Kẻ \(C K \bot B D\) tại \(K\)

Cần chứng minh:

a) \(A H C K\) là hình bình hành
b) Nếu \(I\) là trung điểm của \(H K\), thì \(I B = I D\)

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

1. Các góc vuông

Ta có:

• \(A H \bot B D\)
• \(C K \bot B D\)

⇒ Hai đường thẳng \(A H\) và \(C K\) cùng vuông góc với \(B D\)
⇒ AH ∥ CK

2. Song song của cạnh AD và BC

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

\(A D \parallel B C\)

• \(H\) nằm trên \(B D\) ⇒ \(D H\) là một phần của đường BD
• \(K\) nằm trên \(B D\) ⇒ \(B K\) là một phần của BD

Do đó:

• \(C H\) là đoạn nối đỉnh \(C\) với \(H\)
• \(A K\) là đoạn nối đỉnh \(A\) với \(K\)

Nhưng ta cần cặp cạnh còn lại của tứ giác AHCK:

• Cặp cạnh: \(H C\) và \(A K\)

Trong hình bình hành:

\(A B \parallel C D\)

Nên tam giác AHB và CHD là hình học "đối xứng song song".

Vì \(H\) và \(K\) cùng nằm trên BD, ta có:

• \(A D \parallel B C\)
  ⇒ Đường thẳng chứa AD song song đường thẳng chứa BC
  ⇒ Mọi đoạn thẳng nối từ A và C xuống BD tương ứng (tức H và K) là cùng hướng
  ⇒ \(H C \parallel A K\)

3. Kết luận

Ta đã có:

• \(A H \parallel C K\)
• \(H C \parallel A K\)

Hai cặp cạnh đối của tứ giác song song ⇒

AHCK là hình bình hành\(\)

b) Chứng minh \(I B = I D\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Cần chứng minh:

\(I B = I D\)

1. Dùng tính chất của phép đối xứng trục

Trong phần a), ta thấy:

• \(A H \parallel C K\)
• Cả A và C cùng hạ vuông góc xuống BD
  ⇒ BD là trục đối xứng của đoạn AC.

Nên:

• Giao điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của A
• Giao điểm \(K\) là hình chiếu vuông góc của C
• BD là đường trung trực của đoạn AC

Vậy:

B và D đối xứng nhau qua trung trực của AC\(\)

2. Suy ra I cũng nằm trên trung trực BD

Ta đã có:

• \(I\) là trung điểm của \(H K\)
• Mà đoạn HK nằm đối xứng qua BD
  (vì H và K là hình chiếu của hai điểm A, C đối xứng qua BD)

⇒ I nằm trên BD

3. Trên BD, điểm I cách đều hai đầu B và D

Vì:

• \(I\) thuộc BD
• BD là trục đối xứng của AC
• Mọi điểm trên trục đối xứng cách đều hai điểm đối xứng (là A và C)
  ⇒ I cách đều A và C
  ⇒ Do hình bình hành có đối xứng giống nhau từ A → B và C → D

Một cách hình học quen thuộc:

\(\text{Tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{BD},\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{B}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{D}\&\text{nbsp};\text{theo}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{quan}\&\text{nbsp};\text{h}ệ\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{x}ứ\text{ng}.\)

Cụ thể hơn:

Vì BD là đường chéo của hình bình hành, nên B và D đối xứng nhau qua trung điểm O của BD.
I nằm trên BD ⇒

\(I B = I D\)

Kết luận

a) Tứ giác AHCK là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
b) Điểm I nằm trên đường BD và BD là trục đối xứng nên IB = ID.

Cho hình bình hành \(A B C D\).

• \(E\) là trung điểm của \(A D\)
• \(F\) là trung điểm của \(B C\)

a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

1. Sử dụng tính chất của hình bình hành

Trong hình bình hành \(A B C D\):

• \(A B \parallel C D\)
• \(A D \parallel B C\)

2. Xác định các đoạn song song

Vì \(E\) là trung điểm của \(A D\) nên:

• \(E\) nằm trên \(A D\)

Vì \(F\) là trung điểm của \(B C\) nên:

• \(F\) nằm trên \(B C\)

Do \(A D \parallel B C\):

\(E F \parallel A D \parallel B C\)

Mặt khác:

• \(E B\) nằm trên đường thẳng \(A B\)
• \(F D\) nằm trên đường thẳng \(C D\)

Mà \(A B \parallel C D\), suy ra:

\(E B \parallel F D\)

3. Kết luận

Trong tứ giác \(E B F D\):

• \(E B \parallel F D\)
• \(E F \parallel B D\)

Hai cặp cạnh đối song song ⇒ EBFD là hình bình hành.

b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(A B C D\).

Tính chất quan trọng:

Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

⇒ \(O\) là trung điểm của cả hai đoạn:

\(A C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B D\)

1. Xét tam giác \(A B D\)

• \(E\) là trung điểm của \(A D\)
• \(O\) là trung điểm của \(B D\)

Nên trong tam giác \(A B D\):

• Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh là thẳng hàng

→ Đường thẳng \(E O\) song song với \(A B\).

2. Xét tam giác \(A B C\)

• \(F\) là trung điểm của \(B C\)
• \(O\) là trung điểm của \(A C\)

Nên trong tam giác \(A B C\):

• Đoạn nối hai trung điểm cũng là thẳng hàng.

→ Đường thẳng \(F O\) song song với \(A B\).

3. Suy ra E, O, F thẳng hàng

Vì:

• \(E O \parallel A B\)
• \(F O \parallel A B\)

→ Hai đường thẳng \(E O\) và \(F O\) cùng song song với \(A B\) ⇒ chúng trùng nhau.

Do đó:

\(E , O , F \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}.\)

Kết luận

a) Tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) Ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Cho tam giác \(A B C\).

• \(B M\) và \(C N\) là hai đường trung tuyến ⇒ \(M\) là trung điểm của \(A C\), \(N\) là trung điểm của \(A B\).
• Hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\).

Gọi:

• \(P\) là trung điểm của \(G B\).
• \(Q\) là trung điểm của \(G C\).

Cần chứng minh:
Tứ giác \(P Q M N\) là hình bình hành.

Chứng minh chi tiết

1. Xét tam giác \(G B C\)

Trong tam giác này:

• \(B\), \(C\), \(G\) là ba đỉnh
• \(P\) là trung điểm của \(G B\)
• \(M\) là trung điểm của \(A C\), nhưng ta biết:
  Vì \(G\) nằm trên trung tuyến \(B M\), nên \(M\) cũng là trung điểm của GC theo tỉ số trung tuyến:

Trong tam giác \(A B C\), ta có tính chất:
G chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số 2 : 1, tính từ đỉnh.
⇒ Trên trung tuyến \(C N\), \(G\) nằm trên \(C N\), nhưng \(M\) vẫn là trung điểm của \(A C\), không ảnh hưởng.

Tuy nhiên ta dùng sự thật đã biết:

• \(M\) là trung điểm của \(A C\) và \(G\) nằm trên trung tuyến từ \(B\)
  ⇒ \(G\), \(B\), \(M\) thẳng hàng nhưng quan trọng hơn:
• M nằm trên đoạn GC vì trung tuyến chia cạnh đối diện.

Vậy trong tam giác \(G B C\):

• \(P\) là trung điểm của \(G B\)
• \(M\) là trung điểm của \(G C\)

⇒ Đường nối hai trung điểm:

\(P M \parallel B C\)

2. Xét tam giác \(G B A\)

Trong tam giác này:

• \(Q\) là trung điểm của \(G C\), nhưng ta chứng minh dễ:
  Do \(G\) nằm trên trung tuyến \(C N\), nhưng ở đây, ta dùng định nghĩa:
  Q là trung điểm của GC.
• \(N\) là trung điểm của \(A B\)

Vậy trong tam giác \(G B A\):

• \(Q\) là trung điểm của \(G C\)
• \(N\) là trung điểm của \(G A\) (vì G chia CN theo tỉ số 2:1, nhưng Q là trung điểm GC theo đề bài → độc lập)

Ta biết:

• \(N\) nằm trên cạnh AB là trung điểm AB
• G là điểm trên CN nhưng điều đó không ảnh hưởng đến việc N là trung điểm AB.

Nên trong tam giác \(G B A\):

• \(N\) là trung điểm của \(G A\)?
  Không, N là trung điểm của AB, không phải GA.
  Ta cần chỉnh lại cấu trúc.

Chính xác hơn: xét tam giác ABC

• \(N\) là trung điểm của AB
• \(Q\) là trung điểm của GC
• Nhưng BC ∥ GA? Không.

Vì vậy ta dùng cách tiếp cận chuẩn sau:

3. Dùng tính chất chia trung tuyến

Ta có:

• G nằm trên BM ⇒ ba điểm B, G, M thẳng hàng
• G nằm trên CN ⇒ ba điểm C, G, N thẳng hàng

Từ đó:

Trong tam giác ABC:

• \(M\) là trung điểm AC
• \(N\) là trung điểm AB
  ⇒ \(M N \parallel B C\)

4. Tổng hợp các cặp song song

Ta đã có:

• \(P M \parallel B C\) (vì P và M là trung điểm của GB và GC trong tam giác GBC)
• \(Q N \parallel B C\) (vì Q và N là trung điểm của GC và GA trong tam giác GCA — cần chứng minh lại)

Thực ra Q là trung điểm GC, còn N là trung điểm AB không nằm trong tam giác GCA.

Vậy ta dùng cách đơn giản hơn:

Cách gọn nhất – dựa trên tỉ số trung tuyến

Trên trung tuyến BM:

\(B G = 2 G M\)

Trên trung tuyến CN:

\(C G = 2 G N\)

Do \(P\) là trung điểm \(G B\):

\(G P = P B = \frac{G B}{2}\)

Do \(Q\) là trung điểm \(G C\):

\(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\)

Lập tỉ số trên hai đường thẳng song song:

• Trên đường thẳng chứa B–G–M:
  \(G P = G M\) (vì GM = ½GB, GP = ½GB)
• Trên đường thẳng chứa C–G–N:
  \(G Q = G N\) (vì GN = ½GC, GQ = ½GC)

⇒ \(P\) và \(M\) đối xứng nhau qua G trên BG–GM
⇒ \(Q\) và \(N\) đối xứng nhau qua G trên CG–GN

Suy ra:

• \(P M = Q N\) (vì G là trung điểm của cả hai)
• \(P M \parallel Q N\)
• \(P Q \parallel M N\)

Vậy tứ giác PQMN có:

• Hai cặp cạnh đối song song
  ⇒ PQMN là hình bình hành.

Kết luận

Tứ giác PQMN là hình bình hành vì:

• \(P M \parallel Q N\) và
• \(P Q \parallel M N\)

Hai cặp cạnh đối song song.

Cho hình bình hành \(A B C D\).

• Lấy điểm \(E\) sao cho B là trung điểm của AE ⇒ \(A B = B E\).
• Lấy điểm \(F\) sao cho C là trung điểm của DF ⇒ \(D C = C F\).

Cần chứng minh:

a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành.
b) Trung điểm của ba đoạn \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau.

a) Chứng minh hai tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành

1. Chứng minh AEFD là hình bình hành

Ta có:

• \(B\) là trung điểm của \(A E\) ⇒ \(A B = B E\).
• \(C\) là trung điểm của \(D F\) ⇒ \(D C = C F\).
• ABCD là hình bình hành ⇒ \(A B = C D\) và \(A B \parallel C D\), \(A D \parallel B C\).

Từ \(A B = C D\) và \(A B = B E\), \(C D = C F\):

\(A E = A B + B E = A B + A B = 2 A B\) \(D F = D C + C F = C D + C D = 2 C D\)

Do \(A B = C D\) và \(A B \parallel C D\):

→ \(A E = D F\) và \(A E \parallel D F\).

Trong tứ giác \(A E F D\):

• AE ∥ DF
• AE = DF

→ AEFD là hình bình hành (dấu hiệu: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau).

2. Chứng minh ABFC là hình bình hành

Ta có:

• \(C\) là trung điểm của \(D F \Rightarrow D C = C F\).
• ABCD là hình bình hành ⇒ \(D C = A B\) và \(A B \parallel D C\).

Suy ra:

• \(A B = D C = C F\)
• Mà \(A B \parallel D C\), nên AB ∥ CF.

Ngoài ra:

• Trong hình bình hành: \(A D \parallel B C\)

Xét tứ giác \(A B F C\):

• AB ∥ CF
• BC ∥ AF

→ Hai cặp cạnh đối song song ⇒ ABFC là hình bình hành.

b) Chứng minh trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi:

• \(M\) là trung điểm của \(A F\)
• \(N\) là trung điểm của \(D E\)
• \(P\) là trung điểm của \(B C\)

Cần chứng minh: \(M = N = P\).

1. Do ABFC là hình bình hành → đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Trong hình bình hành:

• Đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Tứ giác ABFC là hình bình hành ⇒ đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm.

→ Giao điểm của AF và BC chính là trung điểm của cả hai:

\(M = P\)

2. Do AEFD là hình bình hành → đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Tứ giác AEFD là hình bình hành ⇒ các đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm.

→ Giao điểm đó là trung điểm của cả AF và DE:

\(M = N\)

3. Suy ra ba trung điểm trùng nhau

Vì:

\(M = P \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} M = N\)

⇒

\(M = N = P\)

Vậy trung điểm của \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau.

Kết luận

a) Hai tứ giác AEFD và ABFC đều là hình bình hành.
b) Trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Cho hình bình hành \(A B C D\). Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Một đường thẳng qua \(O\) cắt \(A B\) tại \(M\) và cắt \(C D\) tại \(N\).
Cần chứng minh:

1. \(\triangle O A M = \triangle O C N\)
2. Tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

1. Chứng minh \(\triangle O A M = \triangle O C N\)

a) Các tính chất đã biết

Trong hình bình hành \(A B C D\):

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒
  \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).

Suy ra:

\(O A = O C\)

b) Cấu hình đường thẳng qua O

Đường thẳng qua \(O\) cắt:

• \(A B\) tại \(M\)
• \(C D\) tại \(N\)

Hai đoạn \(O M\) và \(O N\) nằm trên cùng một đường thẳng.

c) Hai tam giác cần so sánh

Xét hai tam giác:

• \(\triangle O A M\)
• \(\triangle O C N\)

Ta có:

1. \(O A = O C\) (O là trung điểm của AC).
2. \(\angle O A M = \angle O C N\)

 Giải thích:
 - \(A B \parallel C D\)
 - \(A M\) và \(C N\) là các đoạn thẳng nằm trên hai cạnh song song.
 - \(O M\) và \(O N\) là cùng một đường thẳng.
 ⇒ Các góc tạo bởi đường thẳng OM/ON với hai đường song song AB và CD là góc so le trong bằng nhau.

1. \(\angle O M A = \angle O N C\) (cũng là góc so le trong).

→ Hai tam giác có:

• 1 cạnh bằng
• 2 góc kề cạnh bằng nhau

⇒ Tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc (G-C-G).

Vậy:

\(\triangle O A M = \triangle O C N .\)

2. Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành

Từ kết quả:

\(\triangle O A M = \triangle O C N\)

suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

• \(A M = C N\)
• \(O M = O N\)

Xét tứ giác \(M B N D\):

• \(M\) nằm trên \(A B\)
• \(N\) nằm trên \(C D\)
• \(D\) là đỉnh chung

Ta có:

• \(A M = C N\)
• \(A B \parallel C D\)

Mà:

\(A M = C N \Rightarrow M B = N D\)

(vì \(A B = C D\) trong hình bình hành).

Vậy trong tứ giác \(M B N D\):

• 2 cặp cạnh đối song song
  (MB // ND, MN // BD)
• 2 cạnh đối MB = ND

→ Tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu: một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Kết luận

1. \(\triangle O A M = \triangle O C N\) theo trường hợp G-C-G.
2. Suy ra \(M B N D\) là hình bình hành.

Cho hình bình hành \(A B C D\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(A B\) và \(C D\).

a) chứng minh tứ giác AEFD và tứ giác AECF là hình bình hành

1. Chứng minh AEFD là hình bình hành

• Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) nên \(A E = E B\).
• Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\) nên \(C F = F D\).
• Trong hình bình hành \(A B C D\) ta có:
  \(A B \parallel C D\).

→ Vì \(A E\) là nửa cạnh \(A B\) và \(F D\) là nửa cạnh \(C D\), mà \(A B \parallel C D\)
nên AE ∥ FD và AE = FD.

Trong tứ giác \(A E F D\):

• \(A E \parallel F D\)
• \(A E = F D\)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành (dấu hiệu: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau).

2. Chứng minh AECF là hình bình hành

Ta có:

• \(E\) là trung điểm của \(A B\)
• \(F\) là trung điểm của \(C D\)

Trong hình bình hành \(A B C D\):

• \(A B \parallel C D\)
• \(A D \parallel B C\)

Suy ra:

• \(A E\) là nửa \(A B\) và \(C F\) là nửa \(C D\) ⇒ AE ∥ CF
• \(A F\) nối hai trung điểm của \(A B\) và \(C D\), mà trong hình bình hành các cạnh \(B C\) và \(A D\) song song, nên:

 Đường nối trung điểm hai cạnh đối của hình bình hành song song với hai cạnh còn lại, tức là:

 AF ∥ EC

Vậy trong tứ giác \(A E C F\):

• AE ∥ CF
• AF ∥ EC

Hai cặp cạnh đối song song ⇒ AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF=AD và \(AF=ED\)

1. Chứng minh EF = AD

Ta đã biết:

• \(E\) là trung điểm \(A B\)
• \(F\) là trung điểm \(C D\)

Đường nối hai trung điểm của hai cạnh đối trong hình bình hành song song và bằng một cạnh còn lại.

Cụ thể:

• \(E F \parallel A D\)
• \(E F = A D\)

(Vì các cạnh \(A B\) và \(C D\) song song và bằng nhau, nên hai đoạn AE và CF bằng nhau; điều này dẫn đến đoạn EF bằng AD.)

⇒ EF = AD.

2. Chứng minh AF = EC

Trong hình bình hành \(A E C F\) (đã chứng minh ở câu a):

• Các cạnh đối bằng nhau.

Hai cặp cạnh đối của hình bình hành \(A E C F\) là:

• \(A E\) đối \(C F\)
• \(A F\) đối \(E C\)

Vì là hình bình hành ⇒ hai cạnh đối bằng nhau.

→ AF = EC.

Kết luận

• Hai tứ giác \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành.
• Ta có:
  \(E F = A D , A F = E C .\)

my favorite hobby is drawing .I started it when i was eight years old .I usually draw by myself in my free time .I often draw at home in the evening .I think drawing is relaxing and help me express my feelings