Giới thiệu về bản thân
a)
Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên:
\(A B = A C\)Lại có:
\(\overset{}{}ElàtrungđiểmcủaAB\Rightarrow AE=EB\) \(D\overset{}{là}trungđiểmcủaAC\Rightarrow AD=DC\)Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\):
\(A B = A C , A D = A E , \angle B A D = \angle C A E\)b)
Vì \(G\) là trọng tâm nên:
\(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E\)Từ câu a) có \(B D = C E\) nên:
\(B G = C G\)=>△ \(G B C\) cân tại \(G\).
c)
Vì \(G\) là trọng tâm:
\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E\)Từ câu a) \(B D = C E\), nên:
\(G D + G E = \frac{2}{3} B D\)Theo bất đẳng thức tam giác (đã chứng minh ở bài trước):
\(B D + C E > \frac{3}{2} B C\)Do đó:
\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} B C = \frac{1}{2} B C\)Vì \(M , N\) là trung điểm nên \(B M\) và \(C N\) là các đường trung tuyến của tam giác \(A B C\).
Do \(G\) là giao điểm hai trung tuyến nên \(G\) là trọng tâm của tam giác. Khi đó ta có:
\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N\)
Xét tam giác \(B G C\), theo bất đẳng thức tam giác:
\(B G + C G > B C\)
Thay các biểu thức theo trung tuyến:
\(\frac{2}{3} B M + \frac{2}{3} C N > B C\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{2}\), ta được:
\(B M + C N > \frac{3}{2} B C\)
=>\(BM+CN>\frac32BC\)
Biểu thức \(A\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x^{2022} + 2023\) nhỏ nhất.
Ta có:
\(x^{2022} \geq 0\) với mọi \(x\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\).
Vậy khi \(x = 0\), \(A\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2023\).