Với a,b,c dương, ta có:

a/a+b > a/a+b+c

b/b+c > b/a+b+c

c/c+a > c/a+b+c

=> A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c => A>1.               (1)

Ta lại có

A = a/a+b + b/b+c + c/c+a

   = a+b-b/a+b + b+c-c/b+c + c+a-a/c+a

   = 1-b/a+b + 1-c/b+c + 1-a/c+a

   = 3-(b/a+b + c/b+c + a/c+a) = 3-B

Tương tự phần chứng minh trên, ta có

b/a+b > b/a+b+c

c/b+c > c/a+b+c

a/a+c > a/a+b+c

=> B > b/a+b+c + c/a+b+c + a/a+b+c => B>1

mà A = 3-B

=> A < 2                                                           (2)

Từ (1) và (2) => 1<A<2

Mà không có số tự nhiên nào ở giữa 1 và 2 => A không là số tự nhiên