I. QUAN HỆ CHIA HẾT

1. Khái niệm về chia hết 

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b\,(b\ne 0)$

Nếu có số tự nhiên $k$ sao cho $a=kb$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ và kí hiệu là $a\,\vdots \, b$.

Nếu $a$ không chia hết cho $b$ ta kí hiệu là $a\not\vdots \, b$.

Ví dụ 1: 

- Số $32$ chia hết cho $8$ vì $32=8.4$, kí hiệu là $32\,\vdots \, 8$

- Số $30$ không chia hết cho $8$ vì $30:8=3$ (dư $6$), kí hiệu là $30\not\vdots \, 8$.

2. Ước và bội

Nếu $a$ chia hết cho $b$, ta nói $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b$.

 Ta kí hiệu $Ư(a)$ là tập hợp các ước của $a$ và $\text{B}(b)$ là tập hợp các bội của $b$.

Ví dụ 2: $5$ là ước của $15$ và $15$ là bội của $5$ vì $15\,\vdots \, 5$.

Ví dụ 3:

- Vì $15\not\vdots \, 2$ nên $2 \not\in Ư(15)$

- Vì $8\,\vdots \,2$ nên $8\in \text{B}(2)$.

  Cách tìm ước và bội

Muốn tìm các ước của $a\,(a>1)$, ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xem $a$ chia hết cho số nào thì số đó là ước của $a$.

Ta có thể tìm các bội của một số khác $0$ bằng cách nhân số đó lần lượt với $0;\,1;\,2;\,3;...$

Ví dụ 4: Tìm các ước của $10$. 

Giải

Thực hiện phép chia số $10$ cho lần lượt các số tự nhiên từ $1$ đến $10$.

Các phép chia hết là $10:1=10$; $10:2=5$; $10:5=2$; $10:10=1$.

Vì vậy $Ư(10)=\{1;\,2;\,5;\,10\}$

Ví dụ 5:  Hãy tìm năm bội của $6$.

Giải

Ta có thể lần lượt nhân $6$ với $0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4$ để được năm bội của $6$ là $0;\,6;\,12;\,18;\, 24$.

II. TÍNH CHẤT CHIA HẾT 

1. Trường hợp chia hết

Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

• Nếu $a\,\vdots \, m$ và $b\,\vdots \, m$ thì $(a+b)\,\vdots \, m$.
• Nếu $a\,\vdots \, m$, $b\,\vdots \,m$ và $c\,\vdots \,m$ thì $(a+b+c)\,\vdots \,m$.

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $30\,\vdots \,3$ và $18\,\vdots \,3$, suy ra $(30-18)\,\vdots \,3$.

Ví dụ 5: Không tính tổng, xét xem

a) $A=4+8+12+16$ có chia hết cho $4$ hay không. Vì sao?

b) $B= 49-14-7$ có chia hết cho $7$ hay không. Vì sao?

Giải

a) Các số $4;\,8;\,12;\,16$ đều chia hết cho $4$ nên $A$ chia hết cho $4$.

b) Các số $49;\,14;\,7$ đều chia hết cho $7$ nên $B$ chia hết cho $7$.

2. Trường hợp không chia hết

Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

• Nếu $a\,\vdots \,m$ và $b\not\vdots \,m$ thì $(a+b)\not\vdots \,m$.
• Nếu $a\,\vdots \,m$, $b\,\vdots \,m$ và $c\not\vdots \,m$ thì $(a+b+c)\not\vdots \,m$

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $45\,\vdots \,5$ và $8\not\vdots \,5$, suy ra $(45-8)\not\vdots \,5$.

Ví dụ 6: Không tính tổng, xét xem

a) $A=5+6+10$ có chia hết cho $5$ hay không. Vì sao?

b) $B= 36-6-4$ có chia hết cho $6$ hay không. Vì sao?

Giải

a) Các số $5;\,10$ đều chia hết cho $5$ và $6\not\vdots \,5$ nên $A$ không chia hết cho $5$.

b) Các số $36;\,6$ đều chia hết cho $6$ và $4\not\vdots \,6$  nên $B$ không chia hết cho $7$.

3. Tính chất chia hết của một tích

Nếu một thừa số của một tích mà chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Khi đó nếu $a\,\vdots\,m$ thì $(a.b)\,\vdots\,m$ với mọi số tự nhiên $b$.

Chú ý: Nếu một tích không có thừa số nào chia hết cho một số thì tích đó cũng không chia hết cho số đó.

Ví dụ 7:  

- $A=58.72.49$ chia hết cho $7$ vì có $49$ chia hết cho $7$.

- $B=3.5.7.9.11$ không chia hết cho $2$ vì không có thừa số nào chia hết cho $2$.