Cho $a,b,c$ là các số thực khác $0$. Tìm các số thực $x, \, y, \, z$ khác không thỏa mãn: $\dfrac{xy}{ay+bx}=\dfrac{yz}{bz+cy}=\dfrac{zx}{cx+az}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$

Cho tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ với $a,b,c,d\ne 0;a\ne \pm b,c\ne \pm d$. Chứng minh: $\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{d}{d-c}$ và $\dfrac{c+d}{a+b}=\dfrac{c}{a}$.

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}$ suy ra hệ thức $a^2=bc$.

Chứng minh rằng: nếu $2(x+y)=5(y+z)=3(z+x)$ thì $\dfrac{x-y}{4}=\dfrac{y-z}{5}$.

Biết $a^2+ab+\dfrac{b^2}{3}=2\,023 ;\,c^2+\dfrac{b^2}{3}=2\,000;\,a^2+ac+c^2=23$ và $a\ne 0;\,c\ne 0;\,a\ne -c$. Chứng minh rằng $\dfrac{2c}{a}=\dfrac{b+c}{a+c}$.

Cho $\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}$. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên: $A=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+z}{y+z}$.

Chứng minh rằng $M=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}$ có giá trị không phải là số tự nhiên $(x,y,z,t\in \mathbb{N}^*)$.