1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

⚡Số tự nhiên $n$ được gọi là bội chung của hai số $a$ và $b$ nếu $n$ vừa là bội của $a$ vừa là bội của $b$.

⚡Số nhỏ nhất khác $0$ trong các bội chung của $a$ và $b$ được gọi là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

Quy ước: Viết tắt bội chung là BC và bội chung nhỏ nhất là BCNN.

Ta kí hiệu: BC$(a,\,b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$; BCNN$(a,\,b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

Ví dụ 1. Ta có B$(4)=\{0;\,4;\,8;\,16;\,20;\,24;...\}$; B$(6)=\{0;\,6;\,12;\,18;\,24;\,30\}$.

Các số $0;\,12;\, 24; ...$ vừa là bội của $4$, vừa là bội của $6$ suy ra BC$(4,\,6)=\{0;\,12;\,24;\,...\}$.

Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các BC$(4,\,6)$ là $12$ suy ra BCNN$(4,\,6)=12$.

Chú ý:

⚡Số tự nhiên $n$ được gọi là bội chung của ba số $a$, $b$, $c$ nếu $n$ là bội của cả ba số $a$, $b$, $c$.

⚡Số nhỏ nhất khác $0$ trong các bội chung của ba số $a$, $b$, $c$ được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số $a$, $b$, $c$.

⚡Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của $a$, $b$, $c$ là BC$(a,\,b,\,c)$; bội chung nhỏ nhất của $a$, $b$, $c$ là BCNN$(a,\,b,\,c)$.

Ví dụ 2. Tìm BCNN của $8$, $12$ và $18$.

Lời giải

Ta có: B$(8)=\{0;\,8;\,16;\,24;\,32;\,40;\,48;\,56;\,64;\,72;\,...\}$;

B$(12)=\{0;\,12;\,24;\,36;\,48;\,60;\,72;\,...\}$;

B$(18)=\{0;\,18;\,36;\,54;\,72;\,...\}$;

BC$(8,\,12,\,18)=\{0;\,72;\,144;\,...\}$.

Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp bội chung là $72$.

Vậy, BCNN$(8,\,12,\,18)=72$.

⚡Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

Ví dụ 3. Biết BCNN$(a, b)= 20$. Tìm tất cả các số có hai chữ số là bội chung của $a$ và $b$.

Lời giải

Vì bội chung của $a$ và $b$ đều là bội của BCNN$(a,\, b) = 20$ nên tất cả các số có hai chữ số là bội chung của $a$ và $b$ là: $20$, $40$, $60$, $80$.

2. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn luỹ thừa với số mũ lớn nhất

Bước 4. Lấy tích của các luỹ thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.

Ví dụ 4. Tìm BCNN$(15,\,18)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Lời giải

Phân tích các số $15$ và $18$ ra thừa số nguyên tố, ta được: $15=3.5$; $18=2.3^2$.

Thừa số nguyên tố chung là $3$ và riêng là $2$ và $5$.

Số mũ lớn nhất của $3$ là $2$, số mũ lớn nhất của $2$ và $5$ là $1$.

Khi đó BCNN$(15,\,18)=3^2.2.5=90$.

Chú ý. Nếu $a$ $\vdots$ $b$ thì BCNN$(a,\,b) = a$.

Ví dụ 5. BCNN$(10, 5) = 10$

3. ỨNG DỤNG BỘI CHUNG NHỎ NHẤT VÀO CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU

Khi thực hiện phép cộng hoặc trừ các phân số không cùng mẫu, chúng ta cần quy đồng mẫu số.

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).

Bước 3: Nhận tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 6. Quy đồng mẫu các phân số $\dfrac{3}{8},\, \dfrac{5}{6}$.

Lời giải

Ta có $8=2^3$; $6=2.3$ nên BCNN$(8,\,6)=2^3.3=24$.

Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là $24$. Do đó

$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3.3}{8.3}=\dfrac{9}{24}$;

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5.4}{6.4}=\dfrac{20}{24}$.

Ví dụ 7. Thực hiện phép tính $\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}$.

Lời giải

Ta có BCNN$(12,\,18) = 36$ nên ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là $36$. Do đó

$\dfrac{5}{12}=\dfrac{5.3}{12.3}=\dfrac{15}{36}$;

$\dfrac{7}{18}=\dfrac{7.2}{18.2}=\dfrac{14}{36}$       

Vậy $\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{15}{36}+\dfrac{14}{36}=\dfrac{29}{36}$.