Tương giao của các đồ thị hàm số SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng $(d):$

Parabol $(P)$:

Vẽ đồ thị:

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình

$\dfrac14x^2=-\dfrac12x+2$

$x^2+2x-8=0$

$\Delta '=1^2-(-8)=9>0$

Do $\Delta '>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x=-4$ và $x=2$

+ Với $x=-4$ thì $y=4$

+ Với $x=2$ thì $y=1$.

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(-4;4)$ và $(2;1)$.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$

Bảng giá trị hàm số $y = 2x^2$:

Đồ thị hàm số $y=2x^2$ là đường cong Parabol đi qua điểm $O$, nhận $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Đồ thị hàm số $y=x+1$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;1)$ và $(-1;0)$

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình

$2x^2=x+1$

$2x^2-x-1=0$.

Ta có $a+b+c=2-1-1=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=\dfrac{c}{a}=-\dfrac12$.

+ Với $x=1$ thì $y=1+1=2$

+ Với $x=-\dfrac12$ thì $y=-\dfrac12+1=\dfrac12$.

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(1;2)$ và $\Big(-\dfrac12;\dfrac12\Big)$.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đồ thị $(P)$.

Đồ thị hàm số $y=-x^2$ đi qua gốc tọa độ $O$, có bề lõm hướng xuống và nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Parabol $(P): \, y=-x^2$ đi qua các điểm $(-2;-4)$, $(-1;-1)$, $(0;0)$, $(1;-1)$, $(2;-4)$.

Đồ thị Parabol $(P): \, y=-x^2$:

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:

$-x^2=5x+6$

$x^2+5x+6=0$

Ta có: $\Delta=b^2-4ac={{5}^{2}}-4.6=1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{-5+1}{2}=-2$; $x_2=\dfrac{-5-1}{2}=-3$.

Với $x_1=-2$ thì $y_1=-{{(-2)}^{2}}=-4$.

Với ${{x}_{2}}=-3$ thì ${{y}_{2}}=-{{(-3)}^{2}}=-9$.

Vậy tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $A(-2;-4)$và $B(-3;-9)$.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đồ thị parabol $(P): \, y=2x^2.$

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi $M(a;b)$ là điểm cần tìm với $a\ne 0;\,b\ne 0$.

Vì $M$ có tung độ gấp hai lần hoành độ nên $b=2a$

Khi đó $M(a ; 2a)$.

Vì $M(a ; 2a)\in (P): \, y=2x^2$ nên: $2a=2a^2$

$2a^2-2a=0$

$a^2-a=0$

$a(a-1)=0$

$a=0$ và $a=1$

Vì $a\ne 0$ nên ta chọn $a=1$.

Vậy $M(1;2)$.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$.

+ Xét parabol $(P): \, y=x^2$

Bảng giá trị:

Parabol $(P)$ là đường cong có đỉnh $O(0;0)$, qua các điểm $(1;1), \, (-1;1), \, (2;4), \, (-2;4)$

+ Xét đường thẳng $(d): \, y=x+2$

Đường thẳng $(d)$ cắt trục $Ox$ tại điểm $(-2;0)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;2)$

Vẽ parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$

b)  Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$:

$x^2=x+2$

$x^2-x-2=0$

Ta có $a-b+c=0$nên phương trình có hai nghiệm $x_1=-1 ,\, x_2=-\dfrac{c}{a}=2$

+ Với $x_1=-1$ thì $y_1=-1+2=1$;

+ Với $x_2=2$ thì $y_2=2+2=4$.

Vậy parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ cắt nhau tại hai điểm $(-1;1)$ và $(2;4)$.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $y=ax+b$ là phương trình đường thẳng $AB$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & a.(-1)+b=1 \\ & a.3+b=9 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & a=2 \\ & b=3 \\ \end{aligned} \right.$

Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là $(d): \, y=2x+3$.

Đường thẳng $AB$ cắt trục $Oy$ tại điểm $I(0;3)$.

(Học sinh tự vẽ hình)

Diện tích tam giác $OAB$ là: $S_{OAB}=S_{OAI}+S_{OBI}=\dfrac12AH.OI+\dfrac12BK.OI$.

Ta có $AH=1; \, BK=3; \, OI=3$.

Suy ra $S_{OAB}=6$ (đvdt).

b) Giả sử $C(c;{{c}^{2}})$ thuộc cung nhỏ $(P)$ với $-1<c<3$. 

Diện tích tam giác $S_{ABC}=S_{ABB'A'}-S_{ACC'A'}-S_{BCC'B'}$. 

Các tứ giác $ABB'A', \, AA'C'C, \, CBB'C'$ đều là hình thang vuông nên ta có: 

$S_{ABC}=\dfrac{1+9}{2}.4-\dfrac{1+c^2}{2}.(c+1)-\dfrac{9+c^2}{2}.(3-c)=8-2(c-1)^2 \le 8$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất bằng $8$ (đvdt) khi $C(1;1)$.