Tự luận (10 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{20}+2 \sqrt{45}-3 \sqrt{80}+\sqrt{125}$

$=2\sqrt{5}+2. 3\sqrt{5}-3. 4\sqrt{5}+5\sqrt{5}$

$=2\sqrt{5}+6\sqrt{5}-12\sqrt{5}+5\sqrt{5}=\sqrt{5}$.

b) $\dfrac{2 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-4 \sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{5}{1-\sqrt{6}}$

$=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-4 . \dfrac{\sqrt{6}}{2}-\dfrac{5 .(1+\sqrt{6})}{1-6}$

$=\sqrt{6}-2 \sqrt{6}+1+\sqrt{6}=1$

c) $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4(\sqrt{x}-1)}{x-2 \sqrt{x}}$ với $x \neq 4, x>0$.

$=\dfrac{{{(\sqrt{x})}^{2}}-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{{{(\sqrt{x}-2)}^{2}}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

${{\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\dfrac{(\sqrt{x})^{2}-4 \sqrt{x}+4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\dfrac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}}}$

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{5}{3} \sqrt{9 x+18}+\dfrac{1}{2} \sqrt{4 x+8}-15=\sqrt{2+x}$.

Ta có $\dfrac{5}{3} \sqrt{9 x+18}+\dfrac{1}{2} \sqrt{4 x+8}-15=\sqrt{2+x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \sqrt{9(x+2)}+\dfrac{1}{2} \sqrt{4(x+2)}-15=\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow  5 \sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}=15$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=3\Leftrightarrow x+2=9\Leftrightarrow x=7.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{7\}$.

b) $\sqrt{x^{2}-4 x+4}-6=2 x$.

${{\sqrt{x^{2}-4 x+4}-6=2 x \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^{2}}=2 x+6 \Leftrightarrow|x-2|=2 x+6}}$

$|x-2|=2x+6\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x\ge -3 \\ &\left[ \begin{aligned} &x-2=2x+6 \\ &x-2=-2x-6 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x\ge -3 \\& \left[ \begin{aligned} &x=-8\,\,\,\left( l \right) \\ &x=-\dfrac{4}{3}\,\,\left( tm \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{-\dfrac{4}{3}\right\}$.

Hướng dẫn giải:

a) Bảng giá trị hàm số $y = \dfrac12x + 2$:

 Bảng giá trị hàm số $y = -x + 3$:

 Đồ thị hàm số:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(D_{1}\right)$ và $\left(D_{2}\right)$ là:

     $\dfrac{1}{2} x+2=-x+2 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}.$

Thế $x=\dfrac{2}{3}$ vào $y=-x+3=-\dfrac{2}{3}+3=\dfrac{7}{3}$.

Vậy tọa đọa giao điểm là $A\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{3}\right)$.

c) Vì $(D)$ song song với $\left(D_{2}\right)$ nên $a=-1$ và $b \neq 3$.

Do đó $(D): \, y=-x+b$.

Gọi $B\left(x_{B} ; y_{B}\right)$ là giao điểm của $(D)$ và $\left(D_{1}\right)$ tại điểm có hoành độ là $-2$ nên $B\left(-2 ; y_{B}\right)$.

Ta có $B \in\left(D_{1}\right) \Rightarrow y_{B}=\dfrac{1}{2} .(-2)+2=1$.

Vậy $B(-2 ; 1)$.

Ta có $B(-2 ; 1) \in(D): \, y=-x+b \Rightarrow 1=-1 .(-2)+b \Leftrightarrow b=-1$ (tm).

Vậy $(D): \, y=-x-1$.

Hướng dẫn giải:

Tổng số tiền các món hàng khi chưa giảm là:

   2 200 000 + 12 000 000 + 1 500 000 = 15 700 000 (đồng)

Tổng số tiền bác Đô phải trả:

   15 700 000.( 1 - 12%) - 300 000 = 13 516 000 (đồng).

Hướng dẫn giải:

Tam giác $B A C$ vuông tại $A$: $\sin \,C=\dfrac{AB}{BC}{ }$ (tỉ số lượng giác)

$\sin 23^\circ =\dfrac{3 \, 000}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{3 \, 000}{\sin 23^\circ }\approx 7 \, 678$ m.

Vậy máy bay phải bay một đoạn đường $7 \, 678$ m để đạt độ cao $3 \, 000$ m.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $A B \perp B O$ và $A C \perp C O$ (vì $A B$ và $A C$ lần lượt là các tiếp tuyến của $(O)$).

Vậy $\widehat{A B O}=90^\circ$ và $\widehat{A C O}=90^\circ$.

Xét $\Delta A B O$ vuông tại $B$ và $\Delta A C O$ vuông tại $C$ có cùng cạnh huyền $A O$.

Suy ra $\Delta A B O$ và $\Delta A C O$ nội tiếp đường tròn có đường kính $A O$.

Vậy $A, \, B, \, O, \, C$ cùng thuộc một đường tròn.

Ta có $A B=A C$ (tính chất hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ cắt nhau) $\Rightarrow A$ cách đều $B$, $C$ 

$O B=O C=R_{(O)}\Rightarrow  O$ cách đều $B$, $C$.

Vậy $A O$ là trung trực của $B C$ nên $A O \perp B C$ tại $H$ và $H$ là trung điểm $B C$.

b) Xét $\Delta B C D$ nội tiếp $(O)$ có $B D$ là đường kính suy ra $\Delta B C D$ vuông tại $C$.

Vậy $C D \perp B C$.

Ta có $C D \perp B C$ (chứng minh trên).

$A O \perp B C$ (chứng minh trên).

Vậy $C D$ // $A O$ (từ vuông góc đến song song).

Gọi $K$ là giao điểm của $A D$ và $B C$.

Ta có $\widehat{A C B}=\widehat{O C D}$ (cùng phụ $\widehat{B C O}$).

Ta có $\widehat{A C D}=\widehat{A C B}+\widehat{B C D}=90^\circ+\widehat{A C B}$.

$\widehat{O C E}=\widehat{O C D}+\widehat{C D E}=90^\circ+\widehat{O C D}$.

Vậy $\widehat{A C D}=\widehat{O C E}$.

Xét $\Delta A C D$ và $\Delta D C E$ có $\widehat{A C D}=\widehat{O C E}$ (chứng minh trên).

$\widehat{C D A}=\widehat{C E O}$ (cùng phụ $\widehat{D K E}$).

Vậy $\Delta A C D \backsim \Delta O C E$ (góc - góc).

Vậy $\dfrac{A C}{C O}=\dfrac{C D}{C E} \Leftrightarrow A C \cdot C E=C O \cdot C D$ mà $A B=A C$ do tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau nên ta có $A B \cdot C E=C O \cdot C D$.

c) Xét $\Delta B C D$ vuông tại $C$ và $\Delta A C O$ vuông tại $O$ ta có

$\widehat{A O C}=\widehat{O C D}=\widehat{B D C}$.

Vậy $\Delta A C O \backsim \Delta B C D$ (góc - góc).

Suy ra $\dfrac{A C}{B C}=\dfrac{C O}{C D} \Leftrightarrow \dfrac{A C}{C O}=\dfrac{B C}{C D}$

Ta có $\dfrac{A B}{C O}=\dfrac{B C}{C D}\left(\dfrac{A C}{C O}=\dfrac{B C}{C D}\right)$.

$\dfrac{A B}{C O}=\dfrac{C D}{C E}$ (chứng minh trên).

Vậy $\dfrac{C D}{C E}=\dfrac{B C}{C D} \Leftrightarrow \dfrac{C D}{B C}=\dfrac{C E}{C D}$.

Xét $\Delta C D E$ vuông tại $C$ và $\Delta C B D$ vuông tại $C$ có $\dfrac{C D}{B C}=\dfrac{C E}{C D}$ nên $\Delta C D E \backsim \Delta C B D$.

Suy ra $\widehat{C D E}=\widehat{D B C}$ nên $\widehat{C D E}+\widehat{C D B}=90^\circ$.

Vậy $B D \perp D E$ nên $D E$ đồng thời là tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$.