Tổng và hiệu của hai vectơ SVIP

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

• Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm $A$ tùy ý và vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

• Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì $A,B,C$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$

Tính chất: Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tùy ý:

• Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$;
• Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$;
• Tính chất của vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

 

 2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

• Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$.
• Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$.
• Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Chú ý: Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $\overrightarrow{0}$.

Vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$. Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ 

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{c}.$

Quy tắc hiệu: Với ba điểm $O,M,N$ ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM.}$ 

 Nhận xét:

• Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
• Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.$

Giải

a) Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.$ (đpcm)

b) Xét $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)$

$=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\right)$

$=\overrightarrow{CB}-\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)$

$=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0.}$

Suy ra $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$ (đpcm).