Tóm tắt kiến thức: Phương trình lượng giác cơ bản SVIP

1. Phương trình $\sin x = m$

Cách giải

+ Với $\left| m \right| >1$, phương trình $\sin x=m$ vô nghiệm.

+ Với $\left| m \right|\le 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ sao cho $\sin \alpha =m$.  Khi đó, ta có:

$\sin x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi   \\ &x=\pi -\alpha +k2\pi   \\ \end{aligned} \right., \,  (k\in \mathbb{Z})$.

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình $\sin x=m$:

⚡$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;

⚡$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;

⚡$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Ta có $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &f(x)=g(x)+k2\pi   \\ &f(x)=\pi -g(x)+k2\pi   \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.

c) Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\sin x=\sin a^\circ$ như sau:

$\sin x=\sin a^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=a^\circ+k360^\circ \\ x=180^\circ -a^\circ +k360^\circ \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.

2. Phương trình $\cos x = m$

Cách giải

+ Với $\left| m \right|>1$, phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm.

+ Với $\left| m \right|\le 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $\left[ 0;\,\pi  \right]$ sao cho $\cos \alpha =m$. Khi đó, ta có:

$\cos x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi   \\ &x=-\alpha +k2\pi   \\ \end{aligned} \right., \, (k\in \mathbb{Z})$.

Chú ý 

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình $\cos x=m$:

⚡$\cos  x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;

⚡$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;

⚡$\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

b) Ta có $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &f(x)=g(x)+k2\pi   \\ &f(x)=-g(x)+k2\pi   \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.

c) Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\cos x=\cos a^\circ$ như sau:

$\cos x=\cos a^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=a^\circ+k360^\circ \\ x=-a^\circ+k360^\circ \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.

3. Phương trình $\tan x = m$

Cách giải

Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $\Big( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \Big)$ sao cho $\tan \alpha =m$. Khi đó với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta có:

$\tan x=m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

Chú ý

Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\tan x=\tan a^\circ$ như sau:

$\tan x=\tan a^\circ \Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

4. Phương trình $\cot x = m$

Cách giải

Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $\left( 0;\pi  \right)$ sao cho $\cot \alpha =m$. Khi đó với mọi $m\in \mathbb{R}$, ta có:

$\cot x=m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

Chú ý

Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\cot x=\cot a^\circ$ như sau:

$\cot x=\cot a^\circ \Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,\,(k\in \mathbb{Z})$. 

Dạng 1. Giải phương trình $\sin x = a; \cos x = b$

Phương pháp: 

⚡$\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\& x=\pi -\alpha +k2\pi \end{aligned} \right. , \, (k\in \mathbb{Z})$.

⚡$\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\& x=-\alpha +k2\pi  \end{aligned} \right. , \, (k\in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 1. Giải phương trình $2\sin x=1$. 

Lời giải

$\sin x=\dfrac12 \Leftrightarrow   \sin x= \sin \dfrac{\pi}6  \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{aligned} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $2\cos  x+\sqrt{2}=0$.

Lời giải

$2\cos x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{3\pi}4  \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ & x=\dfrac{-3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{aligned} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Dạng 2. Giải phương trình $\tan x = c; \cot x = d$

Phương pháp: 

⚡Bước 1. Tìm điều kiện xác định

$\tan u(x)$ xác định khi $u(x) \ne \dfrac{\pi}2 + k\pi$;

$\cot v(x)$ xác định khi $v(x) \ne k\pi$.

⚡Bước 2. Sử dụng công thức nghiệm

$\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;

$\cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.

⚡Bước 3. Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0$.

Lời giải

Ta có $\sqrt{3}+3\tan x=0 \Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \Big( -\dfrac{\pi }{6} \Big) \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $2\cot x-\sqrt{3}=0$.

Lời giải

$2\cot x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=arc \cot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+k\pi, \, \left( k\in \mathbb{Z} \right)$. 

Dạng 3. Tìm điều kiện để phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = b$ có nghiệm

Phương pháp

Phương trình $\sin x = a$ hoặc $\cos x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \le a \le 1$.

Ví dụ 5. Cho phương trình $\cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big)-m=2$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Lời giải

$\cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big)-m=2 \Leftrightarrow \cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big) = m + 2$

Phương trình đã cho có nghiệm khi $-1\le m+2\le 1$ hay $-3\le m\le -1$.