Tọa độ vectơ SVIP

I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

Để xác định tọa độ của điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta làm như sau:

Từ $M$ kẻ vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm $H$ ứng với số $a$. Số $a$ là hoành độ điểm $M$.

Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm $K$ ứng với số $b$. Số $b$ là tung độ của điểm $M.$

Cặp số $\left(a;b\right)$ là tọa độ của điểm $M$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Kí hiệu là $M\left(a;b\right)$.

II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

Tọa độ của điểm $M$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}.$

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có:

$\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right)\Leftrightarrow M\left(a;b\right).$

Vectơ $\overrightarrow{i}$ có điểm gốc là $O$ và có tọa độ $\left(1;0\right)$ gọi là vectơ đơn vị trên trục $Ox$.

Vectơ $\overrightarrow{j}$ có điểm gốc là $O$ và có tọa độ $\left(0;1\right)$ gọi là vectơ đơn vị trên trục $Oy$.

Nhận xét: Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$, ta xác định được duy nhất một điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}.$

Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}.$

Định lí

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ thì $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$.

Ngược lại nếu $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$.

Chú ý: Với $\overrightarrow{a}\left(x_1;y_1\right);\overrightarrow{b}\left(x_2;y_2\right)$, ta có: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=x_2\\y_1=y_2\end{matrix}\right.$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left(3;-4\right)$ và vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-2;0\right)$.

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OA}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Giải

a) Vì $A\left(3;-4\right)$ nên $\overrightarrow{OA}=\left(3;-4\right)$. Do đó: $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}.$ 

b) Vì $\overrightarrow{u}=\left(-2;0\right)$ nên $\overrightarrow{u}=\left(-2\right)\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}=-2\overrightarrow{i}.$

III. LIÊN HỆ GIỮA TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VECTƠ

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left(x_A;y_A\right);B\left(x_B;y_B\right)$; khi đó:

$\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho các điểm $A\left(1;3\right);B\left(-5;1\right);C\left(2;-2\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-5-1;1-3\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(-6;-2\right)$.

b) Gọi tọa độ của điểm $D\left(x_D;y_D\right)$. Ta có $\overrightarrow{DC}=\left(2-x_D;-2-y_D\right)$.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ hay

$\overrightarrow{DC}=\left(-6;-2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x_D=-6\\-2-y_D=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=8\\y_D=0\end{matrix}\right.$

Vậy $D\left(8;0\right)$.