Tích của một số với một vectơ SVIP

1. Tích của một số với một vectơ và tính chất

Cho số thực $k$ và vectơ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$. Tích của số $k$ với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$.

Vectơ $k\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k>0$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k< 0$ và có độ dài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Quy ước $0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.$

Tính chất

Với hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số thực $h,k$, ta có:

• $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};$
• $\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a};$
• $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a};$
• $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

 2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\right)$ cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}.$ 

Nhận xét: Ba điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực $k$ khác $0$ để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

Chú ý: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mọi vectơ $\overrightarrow{c}$ có duy nhất cặp số $\left(m;n\right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$, điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC.}$

Giải

 Ta có

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$

$=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}.$