Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và bài toán liên quan SVIP

Hướng dẫn giải:

1) Thay $x=9$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta có:

$A=\dfrac{3 \sqrt{9}}{\sqrt{9}+2}=\dfrac{9}{5}$.

2) Ta có: $B=\dfrac{x+4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}$

$=\dfrac{x+4-2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{x-2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

3) $A-B=\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$

$A-B<\dfrac{3}{2}$ khi $\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}<\dfrac{3}{2}$

$4 \sqrt{x}<3 \sqrt{x}+6$ vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x}+2>0$

$\sqrt{x}<6$

$x<36$

Kết hợp với điều kiện và yêu cầu của bài toán, suy ra $x=35$.

Vậy số nguyên dương $x$ lớn nhất thỏa mãn $A-B<\dfrac{3}{2}$ là $x=35$.

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định: $a > 0$; $a \ne 1$ và $a \ne 2$.

$P=\Big(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\Big) \, : \, \Big(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\Big)$

$=\dfrac{\sqrt a - \sqrt a + 1}{(\sqrt{a}-1)\sqrt{a}} \, : \, \Big[\dfrac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt a - 1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt a - 2)}-\dfrac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt a - 2)}\Big]$

$=\dfrac1{(\sqrt{a}-1)\sqrt{a}} \, : \, \dfrac{a - 1 - a + 4}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt a - 2)}$

$=\dfrac1{(\sqrt{a}-1)\sqrt{a}} . \dfrac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt a - 2)}3$

$=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}$.

b) Để $P>\dfrac{1}{6}$ thì $\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>\dfrac{1}{6}$.

Vì $\sqrt{a}>0$ thỏa mãn điều kiện xác định nên để $\dfrac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}>0$ thì $\sqrt{a}-4>0.$

$\sqrt{a}>4$

$a > 16$.

Kết hợp điều kiện, ta có $a > 16$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

a) $A=\Big(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\Big) \, : \, \Big(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\Big)$

$=\Big[\dfrac{4\sqrt{x}(2-\sqrt{x})+8x}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}\Big] \, : \, \Big[\dfrac{\sqrt{x}-1-2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\Big]$

$=\dfrac{8\sqrt{x}+4x}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}.\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{3-\sqrt{x}}$

$=\dfrac{4\sqrt{x}(2+\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}.\dfrac{-\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{3-\sqrt{x}}$

$=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}$.

b) Để $A = - 2$ thì $\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}=-2$

$\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}+2=0$

$\dfrac{4x+2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3}=0$

$4x + 2\sqrt x - 6 = 0$

$\sqrt x = 1$ hoặc $\sqrt x = -\dfrac32$ (vô lí)

Suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$P=\dfrac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}$

$=\dfrac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}$

$=2\sqrt{x}+1$.

$Q=\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{(\sqrt{x}+2)(x-1)}{\sqrt{x}+2}$

$=x-1$.

b) Để $P = Q$ thì $2\sqrt{x}+1=x-1$

$-x + 2\sqrt{x}+2=0$

Coi phương trình là phương trình bậc hai của $\sqrt{x}$, chú ý chọn nghiệm dương của phương trình ta được $\sqrt x = 1 + \sqrt3$ nên $x = 4 +2\sqrt3$ (thỏa mãn).

Suy ra $x=4+2\sqrt{3}$ thì $P = Q$.

Hướng dẫn giải:

a) $P=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-5}{x-1}$

$=\dfrac{3(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$

$=\dfrac{3\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$.

b) Chú ý $\sqrt{x}=\sqrt{(4-2\sqrt{2})^2}=4-2\sqrt{2}$.

Vậy $P=\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}-1}$

$=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}$

$=\dfrac{3^2-(2\sqrt{2})^2}{3-2\sqrt{2}}$

$=3+2\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện: $x\ne 4,$ $x\ge 0$.

Ta có $x=9$ (thỏa mãn điều kiện) thì $\sqrt{x}=3$

Thay vào biểu thức $A$ ta được: $A=\dfrac{3}{3-2}=3$.

b) $T=A-B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}$

$=\dfrac{\sqrt x(\sqrt{x}+2) - 2(\sqrt{x}-2) - 4\sqrt x}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{x + 2\sqrt x - 2\sqrt x + 4 - 4\sqrt x}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{x- 4\sqrt x + 4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{\sqrt x -2}{\sqrt{x}+2}$.

c) $\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}$

$=1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}$

Vậy để $T$ nguyên thì $\dfrac4{\sqrt x + 2} \in \mathbb{Z}$

hay $\sqrt x +2$ là ước của $4$.

Vậy $x = 0$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

a) Với $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) thì $\sqrt x = 3$.

Thay vào biểu thức $P$ ta có: $P = \dfrac{9 + 3}{3-2} = 12$.

b) $Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$

$=\dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$=\dfrac{x + 2\sqrt x}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$

$= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$.

c) Ta có $\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2} \, : \, \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

$=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\ge 2.\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}.3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{P}{Q}=2\sqrt{3}$, đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{x}=\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ hay $x=3$.

Hướng dẫn giải:

a) $P=\Big(\dfrac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\Big).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

$=\Big(\dfrac{x-2}{\sqrt x(\sqrt{x} + 2)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\Big) .\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x} -1}$

$=\dfrac{x+\sqrt x-2}{\sqrt x(\sqrt{x} + 2)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x} -1}$

$=\dfrac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} -1)}{\sqrt x(\sqrt{x} + 2)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x} -1}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$.

b) $2P=2\sqrt{x}+5$

$\dfrac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5$

$2(\sqrt{x}+1)=2x+5\sqrt{x}$

$2x+3\sqrt{x}-2=0$

$(2\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)=0$

$2\sqrt{x}-1 = 0$

$x= \dfrac 14$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện $x > 0$.

Khi đó ta có:

$P=\Big( \dfrac{1}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{3}{x\sqrt{x}-9\sqrt{x}} \Big) \, : \, \Big( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x+3\sqrt{x}} \Big)$

$=\dfrac{x-3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}( \sqrt{x}-3 )( \sqrt{x}+3 )}.\dfrac{\sqrt{x}( \sqrt{x}+3 )}{x-3\sqrt{x}+3}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}$

b) Ta có $P>1$

$\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}>1$

$\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}-1>0$

$\dfrac{1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}>0$

$\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-3}<0$

Suy ra $\sqrt{x}-4>0$ và $\sqrt{x}-3<0$ hoặc $\sqrt{x}-4<0$ và $\sqrt{x}-3>0$

$9<x<16$ (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x\ne y$.

Khi đó ta có:

$P=\Big( \dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}-\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2\sqrt{x}-2\sqrt{y}} \Big). \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

$=\dfrac{4\sqrt{xy}-(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2( \sqrt{x}-\sqrt{y} )( \sqrt{x}+\sqrt{y} )}. \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

$=\dfrac{4\sqrt{xy}-x-2\sqrt{xy}-y}{2( \sqrt{x}-\sqrt{y} )( \sqrt{x}+\sqrt{y} )}.\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

$=\dfrac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}. \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

$=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

b) Ta có $\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{9}$ suy ra $y=\dfrac{9}{4}x$

Do đó $P=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{9x}{4}}}$

$=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{x}}$

$=\dfrac{-\sqrt{x}}{\dfrac{5}{2}\sqrt{x}}=-\dfrac{2}{5}$.