Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác SVIP

1. GÓC ĐỐI DIỆN VỚI CẠNH LỚN HƠN TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác $ABC$, góc $A$ đối diện với cạnh $BC$, góc $B$ đối diện với cạnh $AC$, góc $C$ đối diện với cạnh $AB$.

ĐỊNH LÍ 1

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$ cm, $BC=5$ cm, $CA=7$ cm.

Hãy so sánh các góc của tam giác $ABC$.

Lời giải

Trong tam giác $ABC$, ta thấy $AB<BC<AC$ do đó theo định lí 1 ta có $\widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}$.

2. CẠNH ĐỐI DIỆN VỚI GÓC LỚN HƠN TRONG MỘT TAM GIÁC

ĐỊNH LÍ 2

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ 2. Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{N}=70^\circ;\,\widehat{P}=50 ^\circ$. Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải

Trong tam giác $MNP$ có $\widehat{N}=70^\circ;\,\widehat{P}=50 ^\circ$ nên:

$\widehat{M}=180^\circ-(\widehat{N}+\widehat{P})=180^\circ-(70^\circ+50^\circ)=60$. (tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$)

Trong tam giác $MNP$ có $\widehat{P}<\widehat{M}<\widehat{N}$

suy ra $MN<NP<MP$ (định lí 2).

NHẬN XÉT

⚡ Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.

⚡ Tương tự trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Ví dụ 3.

a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, khi đó cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất.

b) Cho tam giác $MNP$ có góc $M>90^\circ$, khi đó cạnh $NP$ là cạnh lớn nhất.

Ví dụ 4. Ba bạn Mai, Việt và Hà đi đến trường tại địa điểm $D$ lần lượt theo ba con đường $AD, BD$ và $CD$. Biết rằng ba điểm $A,\,B,\,C$ cùng nằm trên một đường thẳng, $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $\widehat{ACD}$ là góc tù. Bạn nào đi xa nhất, bạn nào đi gần nhất? Vì sao?

Lời giải

Ta có $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của $\Delta BCD$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}+\widehat{BCD}>\widehat{BCD}$.

Do đó $\widehat{ABD}$ là góc tù.

⚡Xét $\Delta ABD$ có $\widehat{ABD}$ là góc tù nên $\widehat{ABD}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Cạnh đối diện với $\widehat{ABD}$ trong $\Delta ABD$ là cạnh $AD$.

Do đó cạnh $AD$ là cạnh lớn nhất trong $\Delta ABD$.

Khi đó $AD > BD$ (1).

⚡Xét $\Delta BCD$ có $\widehat{BCD}$ là góc tù nên $\widehat{BCD}$ là góc lớn nhất trong tam giác.

Cạnh đối diện với $\widehat{BCD}$ trong $\Delta BCD$ là cạnh $BD$.

Do đó cạnh $BD$ là cạnh lớn nhất trong $\Delta BCD$.

Khi đó $BD > CD$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AD > BD > CD$.

Vậy bạn Mai đi xa nhất, bạn Hà đi gần nhất.