Phép chia hết. Ước và bội số nguyên SVIP

1. PHÉP CHIA HẾT

Cho $a,b\inℤ$ với $b\ne0$. Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a=bq$ thì ta có phép chia hết $a:b=q$ (trong đó ta cũng gọi $a$ là số bị chia, $b$ là số chia và $q$ là thương). Khi đó ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu là $a⋮b$.

Dấu của thương

$\left(+\right):\left(+\right)\rightarrow\left(+\right)$

$\left(-\right):\left(-\right)\rightarrow\left(+\right)$

$\left(+\right):\left(-\right)\rightarrow\left(-\right)$

$\left(-\right):\left(+\right)\rightarrow\left(-\right)$

Ví dụ 1. 

a) $15⋮\left(-3\right)$ vì $15=\left(-3\right).\left(-5\right)$ .

Ta có $15:\left(-3\right)=-5$.

b) $\left(-35\right)⋮\left(-5\right)$ vì $-35=\left(-5\right).7$.

Ta có $\left(-35\right):\left(-5\right)=7$.

Nhận xét: Từ $8 \, : \, 4 = 2$ ta suy ra được những phép chia hết sau:

$8 \, : \, (-4) = -2$; $(-8) \, : \, (-4) = 2$; $(-8) \, : \, 4 = -2$.

2. ƯỚC VÀ BỘI

Khi $a \, \vdots \, b$ $\left(a,b\inℤ,b\ne0\right)$, ta còn gọi $a$ là một bội của $b$ và $b$ là một ước của $a$.

Ví dụ 2. 

a) $-3$ là một ước của $15$ vì $15⋮\left(-3\right)$.

b) $-35$ là một bội của $-5$ vì $\left(-35\right)⋮\left(-5\right)$.

Nhận xét:

+ Nếu $a$ là một bội của $b$ thì $-a$ cũng là một bội của $b$.

+ Nếu $b$ là một ước của $a$ thì $-b$ cũng là một ước của $a$.

Để tìm các ước của số nguyên $a$, ta lấy các ước dương của $a$ cùng với các số đối của chúng.

Ví dụ 3. Tìm các ước của $4$; các ước của $6$.

Lời giải

Ta có các ước dương của $4$ là $1;2;4$.

Suy ra tất cả các ước của $4$ là $1;-1;2;-2;4;-4$.

Ta có các ước dương của $6$ là $1;2;3;6$.

Suy ra tất cả các ước của $6$ là: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6$.

Chú ý: Ta thấy các số $-2;-1;1$ và $2$ vừa là ước của $6$, vừa là ước của $4$. Chúng được gọi là những ước chung của $6$ và $4$.

Ví dụ 4. Tìm các bội của $6$.

Lời giải

Lần lượt nhân $6$ với $0; \,1; \,2; \,3$; ... ta được các bội dương của $6$ là: $0$; $6$; $12$; $18$; ...

Do đó các bội của $6$ là $0;6;-6;12;-12;18;-18;$ ...