Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Tần số của nhóm $[6; 8)$ là $18$.

Tần số tương đối của của nhóm $[6; 8)$: $\dfrac{18.100}{40} \%=45\%$.

b) Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega = \{1;2;3;...;15\}$.

Vậy không gian mẫu có $15$ phần tử hay $n(\Omega)= 15$.

Các quả bi ghi số nguyên tố là $\{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$ nên số các kết quả thuận lợi của biến cố $M$ là $n(M) = 6$.

Vậy xác xuất của biến cố $M$ là $P(M) = \dfrac{n(M)}{n(\Omega)} =\dfrac{6}{15} = \dfrac25$.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2 -(m-2)x-3=0$.

Ta có: $\Delta=(m-2)^2 + 4.3> 0$ với mọi $m$.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với mọi $m$.

Theo bài ra ta có:

$\sqrt{x_1^2 +2\,025}-x_1 +(m-3)x_2 +3=\sqrt{x_2^2 +2\,025} +x_2^2$

$\sqrt{x_1^2 +2\,025}- \sqrt{x_2^2 +2\,025}=x_2^2-(m-2)x_2 -3+x_1 +x_2$

$\sqrt{x_1^2 +2\,025}- \sqrt{x_2^2 +2\,025} = x_1 + x_2$ (1)

Do $\sqrt{x_1^2 +2\,025}+ \sqrt{x_2^2 +2\,025} \ne 0$ với mọi $x_1; x_2$, nên nhân cả 2 vế của (1) với $\sqrt{x_1^2 +2\,025} + \sqrt{x_2^2 +2\,025}$ ta được:

$(x_1+x_2)(x_1-x_2)=(x_1 +x_2 )(\sqrt{x_1^2+2\,025}+\sqrt{x_2^2+2\,025})$

$x_1+x_2 =0$ hoặc $\sqrt{x_1^2 +2\,025} + \sqrt{x_2^2 +2\,025}=x_1 -x_2$

+) Với $x_1 +x_2 =0$ suy ra $m-2=0$ hay $m=2$.

+) Với $\sqrt{x_1^2 +2\,025} + \sqrt{x_2^2 +2\,025}=x_1 -x_2$ (2). Cộng vế với vế (1) và (2), ta được: $\sqrt{x_1^2 +2\,025} =x_1$. Phương trình vô nghiệm.

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đổi $30$ phút $= \dfrac12$ giờ;

Ca nô đi hết $10$ giờ $36$ phút  - $6$ giờ $30$ phút = $4$ giờ $6$ phút $= \dfrac{41}{10}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (đơn vị: km/h) $(x > 3)$
Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h)

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là $x - 3$ (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là $\dfrac{48}{x + 3}$ (h)

Thời gian ca nô đi ngược dòng là $\dfrac{48}{x - 3}$ (h)
Theo đề bài ta có phương trình $\dfrac{48}{x+3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{48}{x-3}=\dfrac{41}{10}$

$\dfrac{48}{x+3}+\dfrac{48}{x-3}=\dfrac{18}{5}$

$\dfrac{48(x-3)+48(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{18}{5}$

$\dfrac{96x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{18}{5}$

$3x^2-80x-27=0$

$x=\dfrac{-1}{3}$ (không thỏa mãn) hoặc $x=27$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $27$ km/h.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $I$ là trung điểm của $HB$

Suy ra $HI = IB = \dfrac{HB}{2}$

Xét nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ có: $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\Delta CHB$ vuông, mà $CI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra $IC = IH = IB = \dfrac{HB}{2}$ (1)

Vì $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$ nên $\widehat{HKB} = 90^\circ$

Suy ra $\Delta KHB$ vuông, mà $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra $IK = IH = IB = \dfrac{HB}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IC = IK = IH = IB$.

Vậy bốn điểm $C$, $B$, $H$, $K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Có $\widehat{MCA} = \widehat{MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

$\widehat{ACK} = \widehat{MBA}$ (tứ giác $CHKB$ nội tiếp)

Suy ra $\widehat{MCA} = \widehat{ACK}$

Suy ra $CA$ là phân giác $\widehat{MCK}$

c) Theo giả thiết: $\dfrac{AP.MB}{MA} = R$

Suy ra $\dfrac{AP}{MA} = \dfrac{OA}{MB}$

Xét $\Delta PAO$ và $\Delta AMB$ có:

$\dfrac{AP}{MA} = \dfrac{OA}{MB}$;

$\widehat{PAO}= \widehat{AMB} = 90^\circ$

Suy ra $\Delta PAO \backsim \Delta AMB$ (c.g.c)

$\widehat{POA}= \widehat{MBA}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $OP$ // $BQ$.

Xét $\Delta ABO$ có: $OP$ // $BO$, $O$ là trung điểm của $AB$ nên $P$ là trung điểm của $AQ$.

Xét $\Delta ABP$ có: $FK$ // $AP$ nên $\dfrac{FK}{AP} = \dfrac{BF}{BP}$

Xét $\Delta ABP$ có: $FK$ // $AP$ nên $\dfrac{FH}{QP} = \dfrac{BF}{BP}$

Từ đó suy ra $HK = FK$ hay $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối $(H_1)$ là $V_1 = \pi .r_1^2. h_1$

Thể tích khối $(H_2)$ là $V_2 = \pi . r_2^2. h_2 = \pi . \dfrac14 . r_1^2. 2. h_1 = \dfrac12 . \pi .r_1^2 .h_1 = \dfrac12 V_1$

Mà $V_1 + V_2 = 30$

$V_1 + \dfrac12 V_1 = 30$

$V_1 = 20$ (cm³).

Vậy thể tích khối $(H_1)$ là $20$ cm³.

Hướng dẫn giải:

Gọi số gà cần bổ sung là $x$ (con) ($x \in \mathbb{N}$)

Tổng số gà sau khi bổ sung: $100+x$ (con)

Sản lượng trung bình mỗi con: $250-2x$ (quả)

Tổng số trứng: $(100+x)(250-2x)$ (quả)

Doanh thu: $R(x)=3\,000.(100+x)(250-2x)$ (đồng)

Ta có:

$T(x)=(100+x)(250-2x)$

$=-2x^2+50x+25\,000$

$=-2\Big(x-\dfrac{25}{2}\Big)^2+25\,312,5$

Để doanh thu $R(x)$ lớn nhất thì $T(x)$ phải đạt giá trị lớn nhất.

Để $T(x)$ phải đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\Big(x-\dfrac{25}{2}\Big)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất với $x$ là số tự nhiên, $x$ nhỏ nhất.

Suy ra tìm được $x=12.$

Vậy số gà ít nhất cần bổ sung để đạt doanh thu cao nhất là $12$ con.

Vậy doanh thu tối đa là: $R(12)=3\,000.(100+12)(250-2.12)=75\,936\,000$ đồng.