Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $3x-5=4$

$3x=9$

$x=3$

Vậy phương trình có nghiệm $x=3$.

b) $\dfrac{2x}{3}+\dfrac{3x-1}{6}=\dfrac{x}{2}$

$\dfrac{4x}{6}+\dfrac{3x-1}{6}=\dfrac{3x}{6}$

$4x+3x-1=3x$

$4x=1$

$x=\dfrac{1}{4}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đổi $20$ phút $=\dfrac{1}{3}$ h.

Gọi $x$ là độ dài quãng đường từ thành phố về quê.

Điều kiện $x>0$; đơn vị: km.

Thời gian người đó đi từ thành phố về quê là: $\dfrac{x}{30}$ km/h.

Thời gian người đó đi từ quê lên thành phố là: $\dfrac{x}{25}$ km/h.

Vì thời gian lúc lên thành phố nhiều hơn thời gian về quê là $20$ phút nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{25}=\dfrac{x}{30}+\dfrac13$

$\dfrac{5x}{750} = \dfrac13$

$15x = 750$

$x = 50$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường từ thành phố về quê là $50$ km.

Hướng dẫn giải:

a) Với $m=-1$, hàm số trở thành $y=-2x+1$.

Xét hàm số $y=-2x+1$ :

Thay $x=0$ thì $y=1$.

Suy ra đồ thị hàm số $y=-2x+1$ đi qua điểm có tọa độ $\left( 0;1 \right)$.

Thay $x=1$ thì $y=-1$.

Suy ra đồ thị hàm số $y=-2x+1$ đi qua điểm có tọa độ $\left( 1;-1 \right)$.

Vẽ đồ thị:

b) Vì đường thẳng $\left( d \right): \, y=ax+b$ song song với đường thẳng $\left(d' \right): \, y=-3x+9$ nên: $a\ne -3; \, b\ne 9$.

Khi đó ta có: $\left( d \right): \, y=-3x+b$ và $b\ne 9$.

Vì đường thẳng $\left( d \right): \, y=ax+b$ đi qua $A\left( 1;-8 \right)$ nên: $-8=-3.1+b$

Suy ra $b=-5$ (thoả mãn)

Vậy đường thẳng cần tìm là $\left( d \right): \, y=-3x-5$.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\Delta {ABE}$ và $\Delta {ACF}$ có:

$\widehat{BAC}$ chung;

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}={{90}^{\circ }}$;

Do đó $\Delta {ABE}\backsim \Delta {ACF}$ (g.g).

Suy ra $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$ nên $AB.AF=AC.AE$.

b) Từ $AB.AF=AC.AE$ suy ra $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$.

Xét $\Delta {AEF}$ và $\Delta {ABC}$ có:

$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$ (cmt);

$\widehat{BAC}$ chung;

Do đó $\Delta {AEF}\backsim \Delta {ABC}$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ (cặp góc tương ứng).

c) Xét $\Delta {CEB}$ và $\Delta {CDA}$ có:

$\widehat{ACB}$ chung;

$\widehat{CEB}=\widehat{CDA}={{90}^{\circ }}$

Do đó $\Delta {CEB}\backsim \Delta {CDA}$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{CA}{CD}$ (cặp cạnh tương ứng).

Xét $\Delta {CBA}$ và $\Delta {CED}$ có:

$\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{CA}{CD}$ (cmt);

$\widehat{ACB}$ chung;

Do đó $\Delta {CBA} \backsim \Delta {CED}$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{CAB}$ (cặp góc tương ứng) (1)

Tương tự: $\widehat{BDF}=\widehat{CAB}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{BDF}$.

Mà $\widehat{CDE}+\widehat{EDA}=\widehat{BDF}+\widehat{FDA}$ suy ra $\widehat{EDA}=\widehat{FDA}$.

Suy ra $DA$ là phân giác của góc $EDF$.

Mặt khác $AD\perp KD$ nên $DK$ là phân giác ngoài của $\Delta DEF$.

Ta có $DI$ là phân giác trong của $\Delta  DEF$ suy ra $\dfrac{IF}{IE}=\dfrac{DF}{DE}$ (3)

Ta có $DK$ là phân giác ngoài của $\Delta DEF$ suy ra $\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{DF}{DE}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{IF}{IE}=\dfrac{KF}{KE}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\dfrac{x-a}{bc}+\dfrac{x-b}{ca}+\dfrac{x-c}{ab}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}$

$\left( \dfrac{x-a}{bc}-\dfrac{2}{a} \right)+\left( \dfrac{x-b}{ca}-\dfrac{2}{b} \right)+\left( \dfrac{x-c}{ab}-\dfrac{2}{c} \right)=0$

$\dfrac{a\left( x-a \right)-2bc+b\left( x-b \right)-2ca+c\left( x-c \right)-2ab}{abc}=0$

Điều kiện xác định: $a,b,c\ne 0$

Khi đó: $\dfrac{\left( a+b+c \right)x-{{a}^{2}}-2bc-{{b}^{2}}-2ca-{{c}^{2}}-2ab}{abc}=0$

$\left( a+b+c \right)x={{(a+b+c)}^{2}}$ 

+ Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu $a+b+c\ne 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=a+b+c$.