Phần tự luận (7 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $A = \dfrac{3x+15}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}$ (với $x \ne 3$, $x \ne -3$)

$A = \dfrac{3x+15}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} + \dfrac{1}{x+3} - \dfrac{2}{x-3}$

$A = \dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)}$

$A = \dfrac{2x+6}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)}$

$A =\dfrac{2}{x-3}$.

b) Để $A = \dfrac23$ thì $\dfrac2{x-3}=\dfrac23$

$x - 3 = 3$

$x = 6$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x = 6$ thì $A = \dfrac23$.

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ (km) là quãng đường $AB$.

Điều kiện: $x > 0$.

Thời gian người đó đi xe đạp từ $A$ đến $B$ là: $\dfrac{x}{15}$ (h);

Thời gian lúc về của người đó là: $\dfrac{x}{12}$ (h).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi $45$ phút $=\dfrac{3}{4}$ (h), nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{15}=\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5x}{60}-\dfrac{4x}{60}=\dfrac{45}{60}$

$5x-4x=45$

$x=45$ (TMĐK)

Vậy quãng đường $AB$ dài $45$ (km).

Hướng dẫn giải:

Chứng minh được: $\Delta  ABC \backsim \Delta HBA$ (g.g)

Từ đó suy ra $AB^2 = BC.BH$

$\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ (Cùng phụ với $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$)

Suy ra $\Delta AED$ cân tại $A$ suy ra $AI$ vuông góc với $DE$ tại $I$.

Chứng minh $\Delta EHB$ và $\Delta EIA$ đồng dạng (g.g).

Từ đó suy ra $\dfrac{EI}{EH}=\dfrac{EA}{EB}$ nên $EI.EB = EH.EA$.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho trở thành

$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}-1+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-2\ge 0$

$\dfrac{4x^2y^2-(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge 0$

$\dfrac{-(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}\ge 0$

$(x^2-y^2)^2.\left[ \dfrac{1}{x^2y^2}-\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2} \right]\ge 0$

$(x^2-y^2)^2.\dfrac{(x^2+y^2)^2-x^2y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\ge 0$

$(x^2-y^2)^2.\dfrac{x^4+y^4+x^2y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\ge 0$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ hoặc $x=-y$.