Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha): \, \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{-1}=1$ có một vectơ pháp tuyến là

Biết rằng hai mặt phẳng $(P ):x+2y+3z+1=0$ và $(Q ):(m+1 )x+(m+3 )y+6z+1=0$ song song với nhau. Giá trị của $m$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left(1;1;1 \right)$, $B\left(-1;1;0 \right)$, $C\left(1;3;2 \right)$. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}& x=1-3t \\& y=2+t \\& z=-1 \end{aligned} \right.$. Sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(Oxz)$ bằng:

Trong không gian $$Oxyz$$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-3;0 \right)$ và bán kính bằng $2$. Phương trình của $\left( S \right)$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ lần lượt có phương trình ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{3}$, ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{4}$. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cách đều hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$, đường thẳng $\Delta ': \, \dfrac{x+\dfrac{11}{3}}{7}=\dfrac{y-\dfrac{4}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{13}{3}}{-5}$ và đường thẳng $\Delta: \, \dfrac{1-x}{2}=y=\dfrac{z-1}{2}$. Biết $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta$ lên mặt phẳng $(P)$ và $M(1;1;0)$ là một điểm nằm trên $(P)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của $(P)$?

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ trục toạ độ $Oxyz$. Biết tia sáng có phương trình $d:\left\{ \begin{aligned}& x=1+t \\& y=2+t \\& z=3 \end{aligned} \right.$ và mặt sàn sân khấu là mặt phẳng $(P )$ có phương trình $y=0$. Tính góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$, với $A(2;-1;-2),\,B\left(1;2;-3 \right)$ và $C(2;3;0)$. Đường cao đi qua $A$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

Phương trình mặt cầu có tâm là $A(0;2;3)$ và đi qua điểm $B(0;-1;-1)$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Trong hệ trục tọa độ cho các điểm $M(0;\,2;\,0 ),\,N(0;\,0;\,-1 ),\,P(-1;\,0;\,3 )$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(\Delta ):\left\{ \begin{aligned}& x=1+t \\& y=2-mt \\& z=-1+(m+1 )t \end{aligned} \right.$và mặt phẳng $(P ):2x+y+2z-2=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.