Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. SVIP

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

a. Trường hợp 1

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ta có thể trình bày định lí dưới dạng giả thiết - kết luận như sau:

b. Trường hợp 2 

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ta có thể trình bày định lí dưới dạng giả thiết - kết luận như sau:

c. Trường hợp 3 

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ta có thể trình bày định lí dưới dạng giả thiết - kết luận như sau: 

Ví dụ 1: Cho hình vẽ:

Biết rằng $AB$ vuông góc với $BC$, $AD$ vuông góc với $CD$, $AC$ cắt $BD$ tại $E$ và $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$. Chứng minh rằng:

a. $\Delta BAC = \Delta DAC$.

b. $AC$ vuông góc với $BD$ tại $E$. 

Giải

a. Hai tam giác vuông $BAC$ (vuông tại $B$) và $DAC$ (vuông tại D) có:

$AC$ là cạnh chung.

$\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ (theo giả thiết)

Vậy $\Delta BAC = \Delta DAC$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b. Hai tam giác $BAE$ và $DAE$ có:

$AE$ là cạnh chung.

$\widehat{BAE} = \widehat{BAC} = \widehat{DAC} = \widehat{DAE}$ (theo giả thiết).

$AB = AD$ (Vì $\Delta BAC = \Delta DAC$).

Vậy $\Delta BAE = \Delta DAE$ (c.g.c), suy ra $\widehat{BEA} = \widehat{DEA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BEA} + \widehat{DEA} = 180^\circ$ nên $\widehat{BEA} = \widehat{DEA} = 90^\circ$.

Vậy $AC$ vuông góc với $BD$ tại $E$.

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Ta thừa nhận định lí sau:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ta có thể trình bày định lí dưới dạng giả thiết - kết luận như sau:  

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $B$ và tam giác $ADC$ vuông tại đỉnh $D$. Biết rằng $AB = AD$, hãy chứng minh $\Delta ABD = \Delta ADC$.

 Giải

Hai tam giác $ABC$ (vuông tại $B$) và $ADC$ (vuông tại $D$) có:

$AB = AD$ (theo giả thiết)

$AC$ là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABD = \Delta ADC$ (cạnh huyền - góc vuông).