Phương trình đường Elip SVIP

1. Định nghĩa đường elip

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn $2F_1 F_2$.

Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó.

Đặt đầu bút chì tại điểm $M$ rồi di chuyển sao cho dây luôn căng.

Đầu bút chì vạch nên một đường gọi là đường elip.

Ở hình bên dưới, nhấn vào nút  (góc dưới bên trái) rồi quan sát.

Định nghĩa

Cho hai điểm $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi $2a$ lớn hơn $F_1F_2$.

Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $F_1M + F_2M = 2a$.

Các điểm $F_1$ và $F_2$ gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách $F_1F_2=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Elip $(E)$ có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm $M$ thuộc elip khi và chỉ khi $F_1M + F_2M = 2a$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $F_1\left(-c;0\right)$ và $F_2\left(c;0\right)$.

Khi đó người ta chứng minh được:

$M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.\quad\left(1\right)$

Trong đó $b^2 = a^2 - c^2$ (vì $2a > 2c$).

Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình chính tắc của elip.

Xem cách chứng minh công thức $(1)$ ở video bên dưới.

3. Hình dạng của elip

a) Nếu điểm $M(x;y)$ thuộc $(E)$ thì các điểm $M_1(-x;y)$, $M_2(x;-y)$ và $M_3(-x;-y)$ cũng thuộc $(E)$.

Vậy $(E)$ có hai trục đối xứng là $Ox$, $Oy$ và có tâm đối xứng gốc O.

b)  Thay $y=0$ vào phương trình $(1)$ ta được $x= \pm a$, suy ra $(E)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1(a;0)$ và $A_2(-a;0)$.

Tương tự như vậy, thay $x=0$ ta suy ra $(E)$ cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1(0;-b)$ và $B_2(0;b)$.

Các điểm $A_1,A_2,B_1$ và $B_2$ gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1B_2$ gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

a) Từ hệ thức $b^2 = a^2 - c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần bằng $a$, tức là trục nhỏ của elip gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

Ở hình tương tác dưới, kéo thanh trượt để thay đổi giá trị của $c$ về $0$ ( sau đó nhấn vào nút  ) rồi quan sát.

b) Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 = a^2$.

Với mỗi điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn ta xét điểm $M'(x';y')$ sao cho:

$\left\{{}\begin{matrix}x'=x\\y'=\dfrac{b}{a}y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\y'^2=\left(\dfrac{b}{a}y\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\\dfrac{y'^2}{b^2}=\dfrac{y^2}{a^2}\end{matrix}\right.$.

Khi đó $x^2 + y^2 = a^2 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Tập hợp các điểm có tọa độ $M'(x';y')$ là đường elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Khi đó ta nói đường tròn $(C)$ được co thành elip $(E)$.

Hình tương tác bên dưới thể hiện mối quan hệ của $(C)$ và $(E)$ trong trường hợp $a=5$, $b=3$.

Kéo thanh trượt và nhấn vào nút  rồi quan sát.