Phương trình đường tròn SVIP

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.

Ta có 

Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$.

Hình bên dưới là đường tròn có phương trình $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5^2$.

Kéo thanh trượt rồi quan sát.

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2= R^2$ có thể được viết dưới dạng $x^2 + y^2 -2ax - 2by +c = 0$, trong đó $c = a^2+b^2-R^2$.

Ngược lại, phương trình $x^2 + y^2 -2ax - 2by +c = 0$ là phương trình của đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi $a^2 + b^2-c>0$.

Khi đó đường tròn $(C)$ có tâm là $I(a;b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 -c}$.

Chú ý: hệ số của $x^2$ và $y^2$ ở phương trình trên phải là $1$.

Xem video này để biết cách nhận biết một phương trình có là phương trình đường tròn hay không.

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm $M_0(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_0$.

Ta có $M_0$ thuộc $\Delta$ và vectơ $\overrightarrow{IM_0}=\left(x_0-a;y_0-b\right)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

Do đó $\Delta$ có phương trình là $\left(x_0-a\right)\left(x-x_0\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-y_0\right)=0$.  $(2)$

Phương trình $(2)$ được gọi là phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$.

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(3;4)$ thuộc đường tròn $\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8$.

Giải:

$(C)$ có tâm $I(1;2)$, vậy phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $M(3;4)$ là:

$(3-1)(x-3) +(4-2)(y-4) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0$

$\Leftrightarrow x + y -7= 0$.