Phương trình đường thẳng SVIP

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nhận xét

Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}$ ($k\ne0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}\left(u_1;u_2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Với mỗi điểm $M(x;y)$ trên mặt phẳng tọa độ thì $\overrightarrow{M_0M}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$.

Hệ phương trình $(1)$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, trong đó $t$ là tham số.

Mỗi giá trị cụ thể của $t$ xác định tọa độ một điểm trên đường thẳng $\Delta$.

Như vậy, một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm thuộc nó và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ở hình tương tác bên dưới, kéo thanh trượt giá trị $t$ rồi quan sát.

Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2\end{matrix}\right.$.

Nếu $u_1 \ne 0$ thì từ phương trình tham số của $\Delta$ ta có: $y-y_0=\dfrac{u_2}{u_1}\left(x-x_0\right)$.

Đặt $k=\dfrac{u_2}{u_1}$ thì $k$ chính là hệ số góc của $\Delta$.

Quan sát hình vẽ trên, ta có $k=\tan\alpha$.

Lưu ý: $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Av$ và tia $Ax$, chưa chắc là góc tạo bởi $\Delta$ và trục $Ox$. Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng một góc vuông.

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ (khác $\overrightarrow{0}$) vuông góc với vectơ chỉ phương của $d$ ở trên được gọi là vectơ pháp tuyến của $d$.

Định nghĩa

Vectơ $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Nhận xét

Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}$ ($k\ne0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm nằm trên nó và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}\left(a;b\right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Với mỗi điểm $M\left(x;y\right)$ trên mặt phẳng, ta có $\overrightarrow{M_0M}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$.

Định nghĩa

Phương trình $ax + by +c = 0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Ví dụ:

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left(2;2\right)$ và $B\left(4;3\right)$.

Giải:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A,B$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)$. 

Từ đó ta chọn $\overrightarrow{n}=\left(-1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến $\Delta$.

Các trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát $ax + by + c = 0 \quad (1)$

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\\\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right..$

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ ta xét số nghiệm của hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\quad\left(I\right).$

+) Hệ $(I)$ có một nghiệm: $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ ($\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

+) Hệ $(I)$ vô nghiệm: $\Delta_1$ // $\Delta_2$ ($\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$ nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

+) Hệ $(I)$ có vô số nghiệm: $\Delta_1\equiv\Delta_2$ ($\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

Ví dụ

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $x-y+1=0$, xét vị trí tương đối của $d$ với mỗi đường thẳng sau

$\Delta_1:2x+y-4=0$;

$\Delta_2:x-y-1=0$;

$\Delta_3:2x-2y+2=0$.

Giải

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\\\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right..$

Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được kí hiệu là $\widehat{\left(\Delta_1,\Delta_2\right)}$ hoặc $\left(\Delta_1,\Delta_2\right)$.

Đặt $\varphi=\widehat{\left(\Delta_1,\Delta_2\right)}$ ($\varphi\le90^o$). Ta thấy $\varphi$ bằng với $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$ khi $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\le90^o$, hoặc bù với $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$ khi $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)>90^o$, trong đó $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của $\Delta_1;\Delta_2$.

Vì $\varphi\le90^o$ nên $\cos \varphi \ge 0$, do đó 

Xem video này để hiểu rõ hơn về góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng $Oxy$.

Ví dụ

Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_1:x-2y+5=0$ và $d_2:3x-y=0$.

Giải

$\cos\widehat{\left(d_1,d_2\right)}=\dfrac{\left|1.3+\left(-2\right).\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}.\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó $\widehat{\left(d_1,d_2\right)}=45^o.$

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by +c =0$ và điểm $M_0 (x_0;y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M_0,\Delta)$ được tính bởi công thức

$\color{blue}{d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.}$

Ví dụ

Tính khoảng cách từ điểm $A(3;5)$ đến đường thẳng $\Delta:4x+3y+1=0$.

Giải:

$d\left(A,\Delta\right)=\dfrac{\left|4.3+3.5+1\right|}{\sqrt{16+9}}=\dfrac{28}{5}.$