Dấu của tam thức bậc hai SVIP

1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai

a. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với $x$ là biểu thức có dạng $f(x)=ax^2+bx+c$, trong đó $a,b,c$ là những hệ số, $a\ne0$.

Ví dụ: $-5x^2+6x-1$ là một tam thức bậc hai; $3x-4$ không phải là một tam thức bậc hai.

b. Dấu của tam thức bậc hai

Định lý về dấu tam thức bậc hai:

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$, $\Delta=b^2-4ac$.

+) Nếu $\Delta< 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x\inℝ$.

+) Nếu $\Delta=0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$, trừ khi $x=\dfrac{-b}{2a}$

+) Nếu $\Delta>0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$, trái dấu với hệ số $a$ khi $x_1<x<x_2$, trong đó $x_1, x_2 (x_1<x_2)$ là hai nghiệm của $f(x)$.

Chú ý: Trong định lý trên, có thể thay biệt thức $\Delta=b^2-4ac$ bằng biệt thức thu gọn $\Delta'=\left(b'\right)^2-4ac$.

Minh họa hình học: Định lý về dấu của tam thức bậc hai có hình minh họa hình học sau:

	$\Delta< 0$	$\Delta=0$	$\Delta>0$
$a>0$
$a< 0$

c. Áp dụng

Ví dụ: Xét dấu tam thức $f(x)=-x^2+3x-5$.

Lời giải: $f(x)$ có $\Delta=-11< 0$, hệ số $a=-1<0$ nên $f(x)<0$ với mọi $x$.

Ví dụ: Lập bảng xét dấu tam thức $f(x)=2x^2-5x+2$.

Lời giải: $f(x)=2x^2-5x+2$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{1}{2}, x_2=2$, hệ số $a=2>0$.

Ta có bảng xét dấu $fx)$ như sau: 

Ví dụ: Xét dấu biểu thức:

$f\left(x\right)=\dfrac{2x^2-x-1}{x^2-4}$

Lời giải:

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét dấu biểu thức trên.

Xét dấu các tam thức $2x^2-x-1$ và $x^2-4$ rồi lập bảng xét dấu $f(x)$ ta được:

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn

a. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình dạng $ax^2+bx+c<0$ (hoặc $ax^2+bx+c \leq 0$; $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c \geq 0$), trong đó $a,b,c$ là những số thực đã cho, $a\ne0$.

Ví dụ:

$\dfrac{1}{8}x^2-16x-17<0$, $-5x^2+6x-1>0$; $-4x^2+16x+18 \leq 0$ và $-9x^2+14x+5 \geq 0$ là những bất phương trình bậc hai ẩn $x$.

b. Giải bất phương trình bậc hai

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách giải bất phương trình bậc hai.

Giải bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c <0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a<0$) hay trái dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a>0$)

Ví dụ: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:

$2x^2-(m^2-m+1)x+2m^2-3m-5=0$.

Lời giải:

Phương trình bậc hai sẽ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số $a$ và $c$ trái dấu, tức là $m$ phải thỏa mãn điều kiện

$2(2m^2-3m-5)<0$ $\Leftrightarrow$ $2m^2-3m-5<0$.

Vì tam thức $f(m)=2m^2-3m-5$ có hai nghiệm là $m_1=-1$; $m_2=\dfrac{5}{2}$ và hệ số của $m^2$ dương nên

$2m^2-3m-5<0$ $\Leftrightarrow$ $-1<m<\dfrac{5}{2}$.