Dấu của nhị thức bậc nhất SVIP

1. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lý

Nhị thức bậc nhất $f(x) = ax+b$ ($a\ne 0$) có nghiệm $x_0=-\dfrac{b}{a}$, $f(x)$ có giá trị:

+) cùng dấu với hệ số $a$ khi $x\in\left(-\dfrac{b}{a};+\infty\right)$ hay $x>x_0$;

+) cùng dấu với hệ số $a$ khi $x\in\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)$ hay $x< x_0$.

Bảng xét dấu

Trục số

Nghiệm $x_0=-\dfrac{b}{a}$ của nhị thức $f\left(x\right)=ax+b\left(a\ne0\right)$ chia trục số thành hai khoảng.

Đồ thị

Ví dụ: Xét dấu nhị thức $g(x) = -2x + 4$.

$g(x)$ có nghiệm $x_0 = 2$ và có hệ số $a = -2 < 0$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, kết luận: $g(x) < 0$ khi $x>2$; $g(x) > 0$ khi $x<2$.

2. Xét dấu tích thương các nhị thức bậc nhất

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét dấu biểu thức là tích thương các nhị thức bậc nhất.

Ví dụ: Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-1\right)\left(x+2\right)}{-3x+5}$

Giải: 

$f(x)$ không xác định khi $x=\dfrac{5}{3}$.

Các nhị thức $4x - 1; x+2; -3x+5$ có các nghiệm lần lượt là $\dfrac{1}{4};-2;\dfrac{5}{3}$. Các nghiệm này chia khoảng $\left(-\infty;+\infty\right)$ thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.

Từ bảng xét dấu ta thấy: 

$f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty;-2)$ hoặc $x\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{3}\right)$; $f(x) < 0$ khi $x\in\left(-2;-\dfrac{1}{4}\right)$ hoặc $x\in\left(\dfrac{5}{3};+\infty\right)$;

$f(x) = 0$ khi $x=-2$ hoặc $x=\dfrac{1}{4}$; $f(x)$ không xác định khi $x=\dfrac{5}{3}$ (kí hiệu bởi || trong bảng).

3. Áp dụng vào giải bất phương trình

Bất phương trình tích/ chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ: Giải bất phương trình $\dfrac{1}{1-x}\ge1\quad\left(1\right)$.

Giải: Ta biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng $f\left(x\right)\ge0$, sau đó xét dấu biểu thức $f(x)$ để tìm ra khoảng mà $f(x)$ mang dấu dương hoặc bằng $0$.

$\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x}{1-x}\ge0.$

Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x}$ ta suy ra nghiệm của bất phương trình $(1)$ là $0\le x< 1$.

Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Giải bất phương trình $\left|x-1\right|\le2\left|-x-4\right|+x-2$

Giải: Khử dấu giá trị tuyệt đối

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối.

Dựa vào bảng trên ta có

a) với $x \le -4$, bất phương trình thành

$-x+1\le-2x-7+x-2$ hay $1\le-10$,

do đó trong khoảng $\left(-\infty;-4\right]$, bất phương trình vô nghiệm.

b) Với $-4< x\le1$, bất phương trình trở thành 

$-x+1\le2x+8+x-2$

$\Leftrightarrow4x\ge-5\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{4}.$

Do đó, trong khoảng $\left(-4;1\right]$ phương trình có nghiệm $-\dfrac{5}{4}\le x\le1$.

c) với $x>1$, bất phương trình trở thành 

$x-1\le2x+8+x-2$

$\Leftrightarrow2x\ge-7\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{2}.$

Vậy mọi $x>1$ đều là nghiệm của bất phương trình.

Tổng hợp các kết quả ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là

$\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{4}\le x\le1\\x>1\end{matrix}\right.$ hay $x\ge-\dfrac{5}{4}.$