Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ SVIP

1. ELIP

Nhận biết elip

Cho hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ và một độ dài không đổi $2a$ lớn hơn $F_1F_2$. Elip $\left(E\right)$ là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $F_1M+F_2M=2a$.

Các điểm $F_1$ và $F_2$ gọi là các tiêu điểm của elip. 

Độ dài $F_1F_2=2c$ gọi là tiêu cự của elip ($a>c$).

Phương trình chính tắc của elip

Cho elip $\left(E\right)$ có hai tiêu điểm là $F_1$, $F_2$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $F_1\left(-c;0\right)$ và $F_2\left(c;0\right)$.

Phương trình $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $b=\sqrt{a^2-c^2}$ gọi là phương trình chính tắc của elip. 

Chú ý:

• $\left(E\right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1\left(-a;0\right)$, $A_2\left(a;0\right)$ và cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1\left(0;-b\right)$, $B_2\left(0;b\right)$. 
• Các điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ gọi là các đỉnh của elip. 
• Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1B_2$ gọi là trục nhỏ của elip.
• Giao điểm $O$ của hai trục là tâm đối xứng của elip. 
• Nếu $M\left(x;y\right)\in\left(E\right)$ thì $\left|x\right|\le a$, $\left|y\right|\le b$.

Ví dụ: Cho elip $\left(E\right):\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1$. 

a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm, tiêu cự của $\left(E\right)$.

b) Cho điểm $M$ bất kì thuộc $\left(E\right)$. Tính $MF_1+MF_2$.

c) Cho điểm $M$ thuộc $\left(E\right)$ sao cho $M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn $OM$, trong đó $O$ là gốc tọa độ, từ đó hãy tìm tọa độ điểm $M$.

Giải

a) Trong phương trình chính tắc của $\left(E\right)$ ta có

$a^2=169,b^2=25\Rightarrow a=13,b=5,c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169-25}=12$.

Vậy $\left(E\right)$ có hai tiêu điểm là $F_1\left(-c;0\right)=\left(-12;0\right)$, $F_2\left(c;0\right)=\left(12;0\right)$, có tiêu cự là $2c=2.12=24$. 

b) Vì điểm $M$ thuộc $\left(E\right)$ nên $MF_1+MF_2=2a=2.13=26$.

c) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$. Do $M$ thuộc $\left(E\right)$ nên ta có $\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{y_0^2}{25}=1$ (1).

Theo giả thiết ta có $\widehat{F_1MF_2}=90^o$, mà $O$ là trung điểm của $F_1F_2$ nên ta có $OM=\dfrac{F_1F_2}{2}=c=12$.

Suy ra $x_0^2+y_0^2=12^2=144\Leftrightarrow y_0^2=144-x_0^2$. (2) 

Từ (1) và (2) ta suy ra

 $\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{144-x_0^2}{25}=1\Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{20111}{144}\Leftrightarrow x_0=\pm\dfrac{13\sqrt{119}}{12}$.

Thay $x_0$ vào (2) ta được 

 $y_0^2=144-x_0^2=144-\dfrac{20111}{144}=\dfrac{625}{144}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac{25}{12}$.

Vậy $OM=12$ và có bốn điểm $M$ thỏa mãn đề bài, các điểm này có tọa độ là

$M_1\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_2\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right),M_3\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_4\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right)$.

Cách khác: Để tìm tọa độ điểm $M$, ta có thể giải hệ $\left\{{}\begin{matrix}M\in\left(E\right)\\\overrightarrow{MF_1}.\overrightarrow{MF_2}=0.\end{matrix}\right.$

2. HYPEBOL

Nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ và một độ dài không đổi $2a$ nhỏ hơn $F_1F_2$. Hypebol là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $\left|F_1M-F_2M\right|=2a$.

Các điểm $F_1$, $F_2$ gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài $F_1F_2=2c$ gọi là tiêu cự của hypebol ($c>a$). 

Phương trình chính tắc của hypebol

Hypebol $\left(H\right)$ có hai tiêu điểm là $F_1$, $F_2$. Chọn hệ trục tọa độ sao cho $F_1\left(-c;0\right)$ và $F_2\left(c;0\right)$. Phương trình $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ trong đó $b=\sqrt{c^2-a^2}$ là phương trình chính tắc của hypebol. 

Chú ý:

• $\left(H\right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1\left(-a;0\right)$ và $A_2\left(a;0\right)$. Nếu vẽ hai điểm $B_1\left(0;-b\right)$ và $B_2\left(0;b\right)$ vào hình chữ nhật $OA_2PB_2$ $\sqrt{a^2+b^2}=c$.
• Các điểm $A_1$, $A_2$ gọi là các đỉnh của hypebol.
• Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục thực, đoạn thẳng $B_1B_2$ gọi là trục ảo của hypebol.
• Giao điểm $O$ của hai trục gọi là tâm đối xứng của hypebol.
• Nếu $M\left(x;y\right)\in\left(H\right)$ thì $x\le-a$ hoặc $x\ge a$.

Ví dụ: Lập phương trình chính tắc của hypebol $\left(H\right)$, biết rằng $\left(H\right)$ có một tiêu điểm là $F_1\left(-13;0\right)$ và đi qua điểm $A\left(-5;0\right)$. Tìm điểm $M$ thuộc $\left(H\right)$ có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ là nhỏ nhất. 

Giải

Phương trình chính tắc của $\left(H\right)$ có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a,b>0$.

Vì $\left(H\right)$ đi qua điểm $A\left(-5;0\right)$ nên $\dfrac{\left(-5\right)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a=5$.

Do $\left(H\right)$ có một tiêu điểm là $F_1\left(-13;0\right)$ nên ta có $c=13$ suy ra $b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=144$.

Vậy phương trình chính tắc của $\left(H\right)$ là $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{144}=1$.

 Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ với $x_0>0$. 

Do $M\in\left(H\right)$ nên ta có

$\dfrac{x_0^2}{25}-\dfrac{y_0^2}{144}=1\Leftrightarrow x^2_0=25+\dfrac{25y_0^2}{144}\ge25$.

Suy ra $x_0\ge5$. 

Từ đó suy ra $OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\ge\sqrt{x_0^2}=x_0\ge5$.

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{{}\begin{matrix}y_0=0\\x_0=5\end{matrix}\right.$ do đó ta có $M\left(5;0\right)$.

3. PARABOL

Nhận biết parabol

Cho một điểm cố định $F$ mà một đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua $F$. Parabol $\left(P\right)$ là tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta$.

$F$ gọi là tiêu điểm và $\Delta$ gọi là đường chuẩn của parabol $\left(P\right)$.

Phương trình chính tắc của parabol 

Parabol $\left(P\right)$ với tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn $\Delta:x+\dfrac{p}{2}=0$, có phương trình chính tắc: $y^2=2px$.

Chú ý: 

• $O$ gọi là đỉnh của parabol $\left(P\right)$.
• $Ox$ gọi là trục đối xứng của parabol $\left(P\right)$.
• $p$ gọi là tham số tiêu của parabol $\left(P\right)$.
• Nếu $M\left(x;y\right)\in\left(P\right)$ thì $x\ge0$ và $M'\left(x;-y\right)\in\left(P\right)$.  

Ví dụ: Cho parabol $\left(P\right)$ có phương trình ở dạng chính tắc và $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(3;6\right)$. 

a) Viết phương trình của $\left(P\right)$.

b) Tìm tọa độ tiêu điểm $F$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ và tham số tiêu $p$ của $\left(P\right)$. 

c) Cho điểm $M$ thuộc $\left(P\right)$ và có hoành độ bằng $4$. Tính độ dài đoạn thẳng $MF$.

Giải

a) Phương trình chính tắc của $\left(P\right)$ có dạng $y^2=2px$, trong đó $p>0$.

Vì $A\left(3;6\right)$ thuộc $\left(P\right)$ nên ta có phương trình

$6^2=2.p.3\Leftrightarrow p=6$.

Vậy phương trình chính tắc của $\left(P\right)$ là $y^2=12x$. 

b) $\left(P\right)$ có tiêu điểm là $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=\left(3;0\right)$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ là $x+\dfrac{p}{2}=0\Leftrightarrow x+3=0$ và có tham số tiêu là $p=6$.

c) Vì điểm $M$ thuộc $\left(P\right)$ nên ta có 

$MF=d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|4+3\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=7$.