Định lí côsin và định lí sin SVIP

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Trong tam giác $ABC$, ta thường kí hiệu:

• $A, \,B, \,C$ là các góc của tam giác tại các đỉnh tương ứng.
• $a, \,b, \,c$ tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh $A, \,B, \,C$.
• $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Định lí côsin. Trong tam giác $ABC$:

$a^{^{ }2}=b^2+c^2-2bc\cos A,$

$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$

Hệ quả.

$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$; $\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$; $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AC=10$ cm, $BC=16$ cm và góc $C$ bằng $110^\circ$. Tính cạnh $AB$ và góc $A$ của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin ta có:

$AB^2=CA^2+CB^2-2CA.CB.\cos\widehat{C}$

$AB^2=16^2+10^2-2.16.10$$\cos110^\circ$

$AB^2\approx465,44$

suy ra $AB\approx\sqrt{465,44}\approx21,6$ (cm).

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

$\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}$

$\cos A\approx\dfrac{10^2+\left(21,6\right)^2-16^2}{2.10.21,6}\approx0,72$

suy ra $A\approx$ $43^\circ56'$.

2. ĐỊNH LÍ SIN

Định lí sin. Trong tam giác $ABC$:

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$.

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$ cm, $\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=45^\circ$, tính độ dài cạnh $AC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{6.\sin30^\circ}{\sin45^\circ}\approx4,24$ cm.

Ta lại có 

$\dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2.\sin C}=\dfrac{6}{2.\sin45^\circ}\approx4,24$ cm.