Bài tập tự luận: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nâng cao) SVIP

Hướng dẫn giải:

Yêu cầu đề bài tương đương với tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $x > 0$ và $y < 0$.

 $m\in\mathbb{Z},-\dfrac{8}{3} < m < \dfrac{9}{4}$. Đáp số $m\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}$.

Hướng dẫn giải:

Xét hiệu: $ab' - a'b$

Ta có: $m(m+1) - 2m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m = 0; m=3$.

Hướng dẫn giải:

Hai số $x+2y$ và $3x + 4y$ có tích là số chẵn và hiệu là số chẵn nên cả hai số đều chẵn.

Chú ý rằng $3x + 4y > x + 2y$ với mọi $x,$ $y$ nguyên dương.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $k$ số tự nhiên liên tiếp $n+1;n+2;...;n+k$ $(n,$ $k$ $\in \mathbb{N},$ $k\ge 2)$ có tổng $S$ bằng $100$.

Ta có:

$S=\dfrac{\left[\left(n+1\right)+\left(n+k\right)\right].k}{2}=100\Leftrightarrow\left(2n+k+1\right).k=200.$

Nhận xét: $2n+k+1 > k$; $(2n+k+1) - k=2n+1$ là một số lẻ.

Từ đó ta có các trường hợp:

+) $k=5 \Rightarrow n=17$;

+) $k=8 \Rightarrow n = 8$.

Hướng dẫn giải:

Rút $y$ từ (1) thế vào (2) ta được $(m-2)(m+3)x=m+3$.

Với $m = 2$, hệ vô nghiệm.

Với $m = -3$, hệ có vô số nghiệm $\left(x;\dfrac{3x+1}{2}\right)$. Để $\dfrac{3x+1}{2}\in\mathbb{Z}$ thì $x$ phải là số lẻ. Vậy với $m=-3$ thì hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Với $m\ne 2,$ $m\ne -3$, hệ có nghiệm $\left(\dfrac{1}{m-2};\dfrac{1}{2-m}\right)$. Để các số này là số nguyên thì $m-2$ phải là ước của $1$, hay $m=3$ hoặc $m=1$.

Hướng dẫn giải:

Giải các hệ phương trình và tìm giao điểm của các đường thẳng $A(1;1),$ $B(2;4),$ $C(4;0)$, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ.

Công thức tính khoảng cách: $AB=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}.$

Tính được $AB = AC = \sqrt{10}$; $d_1 \perp d_2$ vì $3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1$. Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại A.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $C(1;c)$.

Viết phương trình đường thẳng $AB$, tọa độ điểm $C$ phải thỏa mãn phương trình của $AB$. Tìm được $c=-1$.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\left(u,v\ne0\right)$.

Đáp số: $x=2,$ $y=3$.

b) $\left\{{}\begin{matrix}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{40}{x-y}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x-y}=\dfrac{5}{x+y}\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{40}{x-y}=9\end{matrix}\right..$

Đáp số: $x=9,$ $y=1$.

c) $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{y+12}=1\\\dfrac{x}{y-12}-\dfrac{x}{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12x=y\left(y+12\right)\\12x=2y\left(y-12\right)\end{matrix}\right..$

Trừ theo vế của hai phương trình, ta tìm được $y=36$ (chú ý rằng $y\ne0;y\ne\pm12$), từ đó tính được $x=144$.

Đáp số: $x=144,$ $y=36$.

Hướng dẫn giải:

a) Rút $x = -1 - |y-1|$ thay vào phương trình thứ nhất.

Đáp số: $(-3;3),$ $(-3;-1)$.

b) $\left\{{}\begin{matrix}x+y+\left|x\right|=25\quad\left(1\right)\\x-y+\left|y\right|=30\quad\left(2\right)\end{matrix}\right..$

- Xét $x\le 0$ ta có $x + |x| = 0$, từ (1) được $y = 25$. Thay vào $(2)$ được $x=30$ (vô lí).

- Xét $y\ge 0$ ta có $-y+|y| = 0$, từ (2) được $x = 30$. Thay vào $(1)$ được $y=-35$ (vô lí).

- Xét $x>0,$ $y<0$, ta được nghiệm $(16;-7)$.