Hàm số liên tục SVIP

 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI ĐIỂM

🔸Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=x_0 \Leftrightarrow \underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}} f(x)=f(x_0)$

$\Leftrightarrow \underset{x \to x_0^{-}}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to x_0^{+}}{\mathop{\lim}} f(x)=f(x_0)$.

🔸Hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=x_0\Rightarrow  f(x)$ gián đoạn tại $x=x_0$.

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MIỀN

🔸Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\underset{x \to a^+}{\mathop{\lim}} f(x)=f(a)$, $\underset{x \to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim}} f(x)=f(b)$.

🔸Mọi hàm số sơ cấp xác định trên khoảng nào thì sẽ liên tục trên khoảng đó.

Ví dụ:

a) $y=x^2+x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$;

b) $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ liên tục trên $( -\infty ;1 )$ và $( 1;+\infty  )$.

🔸Giả sử $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó

+ Các hàm số $y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại ;

+ Hàm số $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g( x_0 )\ne 0$.

Dạng 1. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} &  f_1(x) \\ &  f_2(x) \\ \end{aligned} \right.$ nếu $\begin{aligned} & x\ne x_0 \\ & x=x_0 \\ \end{aligned}$. Xét tính liên tục tại $x=x_0$.

Phương pháp:

1) Tính $f(x_0)=f_2(x_0)$;

2) Tính $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}  f_1(x)$;

3) So sánh $f(x_0)$ và $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}} f(x)$

+ Nếu bằng nhau thì liên tục tại $x_0$;

+ Nếu không bằng nhau thì gián đoạn tại $x_0$.

Ví dụ 1. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}\,\,khi\,\,x\ne 2 \\ & 4x-3\,\,khi\,\,x=2 \\ \end{aligned} \right.$. Xét tính liên tục của hàm số tại:

a) $x=3$

b) $x=2$

Lời giải

a) $f(3)=\dfrac{3^2-3.3+2}{3-2}=2$;

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\dfrac{3^2-3.3+2}{3-2}=2$;

Vì $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x=3$.

b) $f(2)=4.2-3=5$;

$\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-2 )( x-1 )}{x-2}=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} ( x-1 )=1$;

Vì $\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} f(x)\ne f(2)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=2$

Ví dụ 2. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,khi\,\,x\ne 1 \\ & \dfrac{1}{3}\,\,khi\,\,x=1 \\ \end{aligned} \right.$. Xét tính liên tục của hàm số tại $x=1$.

Lời giải

$f(1)=\dfrac13$;

$\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ 

$\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} \dfrac{x+3-4}{( x-1 )( \sqrt{x+3}+2 )}=\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{4}$;

Vì $\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} f(x)\ne f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=1$.

Ví dụ 3. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-4x}\,\,khi\,\,x\ne 2 \\ & \dfrac18( x+a )\,\,khi\,\,x=2 \\ \end{aligned} \right.$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=2$.

Lời giải

$f(2)=\dfrac18( a+2 )$;

$\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-4x}=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-2 )( x^2+4x+3 )}{x( x-2 )( x+2 )}=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2+4x+3}{x( x+2 )}=\dfrac{4+8+3}{2.4}=\dfrac{15}{8}$;

Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì $\dfrac18( a+2 )=\dfrac{15}{8}$

$\Leftrightarrow a+2=15\Leftrightarrow a=13$.

Dạng 2. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} &  f_1(x) \\ &  f_2(x) \\ & f_3( x ) \\ \end{aligned} \right.$ nếu $\begin{aligned} & x>x_0 \\ & x=x_0 \\ & x<x_0 \\ \end{aligned}$. Xét tính liên tục tại $x=x_0$

Phương pháp:

1) Tính $f(x_0)=f_2(x_0)$;

2) Tính $\underset{x \to x_0^{-}}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to x_0^{-}}{\mathop{\lim}} f_3( x )$;

3) Tính $\underset{x \to x_0^{+}}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to x_0^{+}}{\mathop{\lim}}  f_1(x)$;

4) So sánh các đại lượng vừa tính

+ Nếu tất cả bằng nhau thì hàm số liên tục tại $x_0$;

+ Nếu $\exists$ một đại lượng khác các đại lượng còn lại thì hàm số gián đoạn tại $x_0$.

Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}\,\,khi\,\,x>1 \\ & \dfrac{\sqrt{x+1}+7}{3}\,\,khi\,\,x\le 1 \\ \end{aligned} \right.$ tại $x=1$.

Lời giải

$f(1)=\dfrac{\sqrt{1+1}+7}{3}=\dfrac{7+\sqrt{2}}{3}$;

$\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{\sqrt{x+1}+7}{3}=\dfrac{7+\sqrt{2}}{3}$;

$\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-1 )( x+3 )}{( x-1 )( x+2 )} =\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{4}{3}$.

Vì $f(1)=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)\ne \underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)$ nên hàm số đã cho gián đoạn tại $x=1$.

Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x+1-\sqrt{x+3}}{x-1}\,\,khi\,\,x>1 \\ & \dfrac{3}{4}\,\,khi\,\,x=1 \\ & \dfrac{3x^3-6x^2-3x+6}{3x^2-14x+11}\,\,khi\,\,x\le 1 \\ \end{aligned} \right.$ tại $x=1$.

Lời giải

$f(1)=\dfrac{3}{4}$;

$\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{x+1-\sqrt{x+3}}{x-1}$

$=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{{{( x+1 )}^{2}}-x-3}{( x-1 )( x+1+\sqrt{x+3} )} =\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2+x-2}{( x-1 )( x+1+\sqrt{x+3} )}$

$=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-1 )( x+2 )}{( x-1 )( x+1+\sqrt{x+3} )}=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{x+2}{x+1+\sqrt{x+3}}=\dfrac{3}{4}$;

$\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{3x^3-6x^2-3x+6}{3x^2-14x+11}=\underset{x \to 1-}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-1 )( 3x^2-3x-6 )}{( x-1 )( 3x-11 )}$

$=\underset{x \to 1-}{\mathop{\lim}} \dfrac{3x^2-3x-6}{3x-11}=\dfrac{3-3-6}{3-11}=\dfrac{3}{4}$.

Vì $f(1)=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)$ nên hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

Dạng 3. Xét tính liên tục trên khoảng, đoạn

Phương pháp:

+ $f(x)$ liên tục trên $( a;b )$ nếu $f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $( a;b )$;

+ Mọi hàm số sơ cấp xác định trên khoảng nào thì liên tục trên khoảng đó;

+ $f(x)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & f(x)\,\,\text{liên tục trên}\,( a;b ) \\ & \underset{x \to a^+}{\mathop{\lim}} f(x)=f( a ) \\ & \underset{x \to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim}} f(x)=f( b ) \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{2x^3+x+3}{x^3+1}\,\,khi\,\,x\ne -1 \\ & \dfrac{7}{3}\,\,khi\,\,x=-1 \\ \end{aligned} \right.$ trên $\mathbb{R}$.

Lời giải

+ Với $x\ne -1$ thì $f(x)=\dfrac{2x^3+x+3}{x^3+1}$ xác định $\forall x\ne -1$;

Suy ra hàm số liên tục trên $( -\infty ;-1 )$ và $( -1;+\infty  )$

+ Với $x=-1$ thì $f(x)=\dfrac{7}{3}$;

$\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^3+x+3}{x^3+1}$

$=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x+1 )( 2x^2-2x+3 )}{( x+1 )( x^2-x+1 )}=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^2-2x+3}{x^2-x+1}=\dfrac{7}{3}$.

Vì $f( -1 )=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} f(x)$ nên hàm số liên tục tại $x=-1$.

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x^2-5x+6}{x^3+1}\,\,khi\,\,x<2 \\ & 2-x\,\,khi\,\,x\ge 2 \\ \end{aligned} \right.$ trên $\mathbb{R}$.

Lời giải

+ Với $x<2$ thì $f(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{x^3+1}$ xác định $\forall x<2$

Suy ra hàm số liên tục trên $( -\infty ;2 )$.

+ Với $x>2$ thì $f(x)=2-x$ xác định trên $( 2;+\infty  )$

Suy ra hàm số liên tục trên $( 2;+\infty  )$.

+ Với $x=2$, ta có $f(2)=\underset{x \to 2^+}{\mathop{\lim}} f(x)=2-2=0$;

$\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-5x+6}{2( x^3-8 )}$

$=\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-2 )( x-3 )}{2( x-2 )( x^2+2x+4 )}=\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{x-3}{2( x^2+2x+4 )}=\dfrac{-1}{24}$;

Vì $f(2)\ne \underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=2$.

Vậy hàm số liên tục trên $( -\infty ;2 )$ và $( 2;+\infty  )$; gián đoạn tại $x=2$.

Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:

Định lí: $\left\{ \begin{aligned} & f(x)\,\,\text{liên tục trên}\,\,( a;b ) \\ & f( a ).f( b )<0 \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $( a;b )$.

Chú ý:

+ Nếu chứng minh phương trình $f(x)=0$ có ít nhất $k$ nghiệm thuộc $( a;b )$ thì ta chia $( a;b )$ thành $k$ khoảng trái dấu.

+ Phương trình ${{a}_{n}}x^n+{{a}_{n-1}}x^{n-1}+...+{{a}_{0}}=0$ có tối đa n nghiệm.

+ Nếu phương trình chứa tham số ta thường chọn x để triệt tiêu tham số.

+ $\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} f(x)=+\infty \Rightarrow \exists a>0$ để $f( a )>0$;

$\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} f(x)=-\infty \Rightarrow \exists b<0$ để $f( b )<0$.

Ví dụ 8. Chứng minh $x^5-2x^3+1=0$ có nghiệm.

Lời giải

Đặt $f(x)=x^5-2x^3+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$f( 0 )=1>0$; $f( -2 )={{( -2 )}^{5}}-2.{{( -2 )}^{3}}+1<0$;

$\Rightarrow f( 0 ).f( -2 )<0$ nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $( -2;0 )$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 9. Chứng minh $x^3-3x+1=0$ có đúng $3$ nghiệm phân biệt.

Lời giải

Đặt $f(x)=x^3-3x+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$\left. \begin{aligned} & f( -5 )=-109 \\ & f( -1 )=3 \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow f( -5 ).f( -1 )<0$

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $( -5;-1 )$ (1)

$f( -1 ).f(1)=3.( -1 )<0$

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $( -1;1 )$ (2)

$f(1).f(2)=( -1 ).3<0$

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $( 1;2 )$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra phương trình có ít nhất $3$ nghiệm phân biệt.

Mà $f(x)$ là đa thức bậc ba nên $f(x)=0$ có nhiều nhất $3$ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng $3$ nghiệm.