Giới hạn hàm số SVIP

I. Định nghĩa

a. Giới hạn hữu hạn

Giả sử $(a;b)$ là một khoảng chứa điểm $x_{0}$ và $f$ là một hàm số xác định trên tập hợp $(a;b)\backslash\{ x_{0}\}$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực $L$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ (hoặc tại điểm $x_{0}$) nếu với mọi dãy số $\left\{ x_{n} \right\}$ trong tập hợp $(a;b)\backslash\{ x_{0}\}$, mà $\text{lim}\ x_{n} = x_{0}$ ta đều có $\text{lim}\ f\left( x_{n} \right) = L$.

Khi đó ta viết $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L$ hoặc $f(x) \rightarrow L$ khi $x \rightarrow x_{0}$.

Nhận xét:

+ Nếu $f(x) = c$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = c$;

+ Nếu $f(x) = x$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = x_{0}$.

b. Giới hạn vô cực

Giả sử $(a;b)$ là một khoảng chứ điểm $x_{0}$ và $f$ là một hàm số xác định trên tập hợp $(a;b)\backslash\left\{ x_{0} \right\}$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực $\infty$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ ( hoặc tại điểm $x_{0}$) nếu với mọi dãy số $\left( x_{n} \right)$trong tập hợp $(a;b)\backslash\left\{ x_{0} \right\}$ mà $\text{lim}\ x_{n} = x_{0}$ ta đều có $\text{lim}\ f\left( x_{n} \right) = L$

Khi đó ta viết: $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = \infty$ hoặc $f(x) \rightarrow \infty$ khi $x \to x_0$.

II. Định lí về giới hạn

Định lí 1. Cho $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L$, $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ g(x) = M$. Ta có:

$\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack = L \pm M$

$\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = L.M$

$\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack c.f(x) \right\rbrack = c.L$

$\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left\lbrack \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\rbrack = \dfrac{L}{M}$ với $M \neq 0$.

Định lí 2.

Nếu $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ f(x) = L$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \left| f(x) \right| = |L|$; $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{L}$; $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\ \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$ với $L \geq 0$.

III. Giới hạn một bên

a. Giới hạn phải

Giả sử hàm số $f$ xác định định trên khoảng $\left( x_{o};b \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên phải là số thực $L$ khi $x$ tiến về $x_{o}$ nếu mọi số $\left( x_{n} \right)$ trong khoảng $\left( x_{o};b \right)$ mà $\text{lim}\ x_{n} = x_{o}$ ta đều có $\text{lim}\ (f(x_{n})) = L$.

Khi đó, ta viết: $\underset{x \rightarrow x_{o}^{+}}{\text{lim}}f(x) = L$ hoặc $f(x) \rightarrow L$ khi $x \rightarrow x_{o}^{+}$.

b. Giới hạn trái

Giả sử hàm số $f$ xác định định trên khoảng $\left( a;x_{o} \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên trái là số thực $L$ khi $x$ tiến về $x_{o}$ nếu mọi số $\left( x_{n} \right)$ trong khoảng $\left( a;x_{o} \right)$ mà $\text{lim}\ x_{n} = x_{o}$ ta đều có $\text{lim}\ (f(x_{n})) = L$.

Khi đó, ta viết: $\underset{x \rightarrow x_{o}^{-}}{\text{lim}}f(x) = L$ hoặc $f(x) \rightarrow L$ khi $x \rightarrow x_{o}^{-}$.

Nhận xét:

Nếu tồn tại $\underset{x \rightarrow x_{o}}{\text{lim}}f(x) = L$ thì $\underset{x \rightarrow x_{o}^{-}}{\text{lim}}f(x) = \underset{x \rightarrow x_{o}^{+}}{\text{lim}}f(x) = L$ và ngược lại.

Dạng 1. Giới hạn tại $x_0$

Phương pháp: Phân tích thành nhân tử.

Hàm số xác định tại $x=x_0 \Rightarrow \underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}} f(x)=f( x_0)$

Ví dụ 1. Tính $\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} ( 2x-1)$.

Lời giải

$\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} ( 2x-1)=2.1-1=1$.

Ví dụ 2. Tính $I=\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} \Big( \dfrac{x^2-5x+8}{x+1}\Big)$.

Lời giải

$I=\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} \Big( \dfrac{x^2-5x+8}{x+1}\Big)$

$=\dfrac{{{1}^{2}}-5.1+8}{1+1}=2$.

Dạng 2. Giới hạn dạng $\dfrac{0}{0}$

Phương pháp: Phân tích thành nhân tử.

Hằng đẳng thức $a^2-b^2=\Big( a-b\Big)\Big( a+b\Big)$;

$a^3-b^3=(a-b)( a^2+ab+b^2)$;

Nghiệm phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=a( x-x_1)( x-x_2)$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-1}{x+1}$.

Lời giải

$\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-1}{x+1}$

$=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-1)( x+1)}{x+1}$

$=\underset{x \to -1}{\mathop{\lim}} ( x-1)=-2$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-4}{x^3-8}$.

Lời giải

$\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2-4}{x^3-8}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-2)( x+2)}{( x-2)( x^2+2x+4)}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{x+2}{x^2+2x+4}$

$=\dfrac{2+2}{2^2+2.2+4}=\dfrac{1}{3}$.

Ví dụ 5. Tính $\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^2+3x-14}{x^2-4}$.

Lời giải

$\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^2+3x-14}{x^2-4}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{2\Big( x+\dfrac{7}{2}\Big)( x-2)}{( x-2)( x+2)}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{2\Big( x+\dfrac{7}{2}\Big)}{x+2}$

$=\dfrac{2\Big( 2+\dfrac{7}{2}\Big)}{2+2}=\dfrac{11}{4}$.

Phương pháp: Nhân liên hợp.

$A-B=\dfrac{A^2-B^2}{A+B}=\dfrac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}$;

$A+B=\dfrac{A^3+B^3}{A^2-AB+B^2}$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-9}$.

Lời giải

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-9}$

$=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{( \sqrt{x+1}\Big)^2-2^2}{( x^2-9)( \sqrt{x+1}+2)}$

$=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{x-3}{( x-3)( x+3)( \sqrt{x+1}+2)}$

$=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \dfrac{1}{( x+3)( \sqrt{x+1}+2)}$

$=\dfrac{1}{( 3+3)( \sqrt{3+1}+2)}=\dfrac{1}{24}$.

Dạng 3. Giới hạn một bên

Phương pháp: 

$\underset{x \to x_0^{+}}{\mathop{\lim}} f(x)$ tức là $\left\{ \begin{aligned} & x \to x_0 \\ & x>x_0 \\ \end{aligned} \right.$ (bên phải);

$\underset{x \to x_0^{-}}{\mathop{\lim}} f(x)$ tức là $\left\{ \begin{aligned} & x \to x_0 \\ & x<x_0 \\ \end{aligned} \right.$ (bên trái);

Hàm số có giới hạn tại $x=x_0$ khi và chỉ khi $\underset{x \to x_0^{+}}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to x_0^{-}}{\mathop{\lim}} f(x)$.

Ví dụ 7. Tính $\underset{x \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x-3}{x-1}$.

Lời giải

$\underset{x \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim}} \dfrac{2x-3}{x-1}=-\infty$;

Vì $x \to {{1}^{+}}$ thì  $\left\{ \begin{aligned} & 2x-3\to -1<0 \\ & x-1\to {{0}^{+}} \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 8. Tính $\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{| x-2 |}{x-2}$ và $\underset{x \to 2^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{| x-2 |}{x-2}$ từ đó suy ra $L=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}} \dfrac{| x-2 |}{x-2}$.

Lời giải

$\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{\left| x-2 \right|}{x-2}$

$=\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{-( x-2)}{x-2}=-1$;

$\underset{x \to 2^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{\left| x-2 \right|}{x-2}$

$=\underset{x \to 2^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{( x-2)}{x-2}=1$.

Suy ra $\underset{x \to 2^-}{\mathop{\lim}} \dfrac{\left| x-2 \right|}{x-2}\ne \underset{x \to 2^+}{\mathop{\lim}} \dfrac{\left| x-2 \right|}{x-2}$ nên không tồn tại $L$.

Ví dụ 9. Cho $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 5x^4-6x^2-x\,\,\text{khi}\,\,x\ge 1 \\ & {{x}^{3}}-3x\,\,\text{khi}\,\,x<1 \\ \end{aligned} \right.$. Tính $\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} f(x)$.

Lời giải

$\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)$

$=\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} ( 5x^4-6x^2-x)=-2$;

$\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)$

$=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} ( x^3-3x)=-2$

Vậy $\underset{x \to 1^+}{\mathop{\lim}} f(x)=\underset{x \to 1^-}{\mathop{\lim}} f(x)=-2$ nên $\underset{x \to 1}{\mathop{\lim}} f(x)=-2$.

Dạng 4. Giới hạn vô cùng

Phương pháp: Nhóm lũy thừa mũ cao nhất.

Lưu ý: $x \to -\infty$ thì $x=-\sqrt{x^2}=\sqrt[3]{x^3}$.

Ví dụ 10. Tính $\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \Big( 2{{x}^{4}}-3x^2+1\Big)$.

Lời giải

$\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} ( 2x^4-3x^2+1)$

$=\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x^4\Big( 2-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\Big)=+\infty$

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x^4=+\infty  \\ & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \Big( 2-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\Big)=2>0 \\ \end{aligned} \right.$.

Ví dụ 11. Tính $\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt{2x^2+1}+x)$.

Lời giải

$\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt{2x^2+1}+x)$

$=\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x\Big( -\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}+1\Big)=+\infty$

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x=-\infty  \\ & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \Big( -\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}+1\Big)=-\sqrt{2}+1<0 \\ \end{aligned} \right.$.

Dạng 5. Giới hạn $\dfrac{\infty }{\infty }$

Phương pháp: Nhóm nhân tử ở cả tử và mẫu rồi rút gọn.

Ví dụ 12. Tính $\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{2x+3}{3x^2-x+2}$.

Lời giải

$\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{2x+3}{3x^2-x+2}$

$=\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}=0$.

Ví dụ 13. Tính $\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^5+3x^2+1}{5-3x^2}$.

Lời giải

$\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{2x^5+3x^2+1}{5-3x^2}$

$=\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{x^5\Big( 2+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}\Big)}{x^2\Big( \dfrac{5}{x^2}-3\Big)}$

$=\underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x^3.\dfrac{2+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}}{\dfrac{5}{x^2}-3}=+\infty$

Vì $\left\{ \begin{aligned} & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} x^3=-\infty  \\ & \underset{x \to -\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{2+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}}{\dfrac{5}{x^2}-3}=-\dfrac{2}{3}<0 \\ \end{aligned} \right.$.

Dạng 6. Giới hạn $\infty -\infty$

Phương pháp: Nhân liên hợp.

$A-B=\dfrac{A^2-B^2}{A+B}=\dfrac{{{A}^{3}}-{{B}^{3}}}{A^2+AB+B^2}$;

$A+B=\dfrac{A^2-B^2}{A-B}=\dfrac{{{A}^{3}}+{{B}^{3}}}{A^2-AB+B^2}$.

Ví dụ 14. Tính $\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt{x^2+1}-x)$.

Lời giải

$\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt{x^2+1}-x)$

$=\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}$

$=\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}=\dfrac{0}{1+1}=0$.

Ví dụ 15. Tính $\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x)$.

Lời giải

$\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} ( \sqrt[3]{27x^3-x^2}-3x)$

$=\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{27x^3-x^2-27x^3}{( \sqrt[3]{27x^3-x^2})^2+3x.\sqrt[3]{27x^3-x^2}+9x^2}$

$=\underset{x \to +\infty }{\mathop{\lim}} \dfrac{-1}{\Big( \sqrt[3]{27-\dfrac{1}{x}}\Big)^2+3.\sqrt[3]{27-\dfrac{1}{x}}+9}=-\dfrac{1}{27}$.