Giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai SVIP

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất là $x$ (m) (ĐK: $x>0$)

$\Rightarrow$ Chiều dài mảnh đất là $x+7$ (m).

Vì độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là $13$ m nên ta có phương trình:

$x^2+(x+7)^2=13^2$

$x^2+x^2+14x+49=169$

$2x^2+14x-120=0$

$x^2+7x-60=0$

Ta có $\Delta = 7^2-4.(-60)=289=172>0$ nên phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:

$x=\dfrac{-7+17}{2}=5$ (tm); $x=\dfrac{-7-17}{2}=-12$ (ktm)

$\Rightarrow$ Chiều rộng của mảnh đất là $5$ m, chiều dài của mảnh đất là $5+7=12$ m.

Vậy diện tích mảnh đất hình chữ nhật là $S=5.12=60$ (m$^2$).

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x$ (m, điều kiện: $x>0$).

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là $3x$ (m).

Kích thước phần đất còn lại sau khi làm lối đi là $x-3$ (m); $3x-3$ (m).

Theo bài diện tích đất còn lại là $4 \, 329$ m$^2$ nên ta có phương trình:

$(x-3)(3x-3)=4 \, 329$

$3x^2-3x-9x+9=4 \, 329$

$3x^2-12x-4 \, 320=0$

$x^2-4x-1 \, 440=0$

$\Delta'=4+1 \, 440=1 \, 444$ suy ra $\sqrt{\Delta'}=38$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\dfrac{2+38}{1}=40$ (thỏa mãn); $x_2=\dfrac{2-38}{1}=-36$ (loại).

Vậy chiều rộng mảnh vườn là $40$ m; chiều dài mảnh vườn là $3.40 = 120$ m.

Hướng dẫn giải:

Đổi $30$ phút $=0,5$ giờ

Gọi vận tốc ô tô dự định đi trên quãng đường $AB$ là $x$ (km/h), ($x>10$)

Thời gian dự định đi trên quãng đường $AB$ là $\dfrac{100}{x}$ (h)

Vận tốc thực tế ô tô đi là $x-10$ (km/h) 

Nên thời gian thực tế đi hết quãng đường $AB$ là $\dfrac{100}{x-10}$ (h) 

Vì xe đến $B$ chậm hơn dự định $30$ phút $=\dfrac{1}{2}$ (h) nên ta có phương trình:

$\dfrac{100}{x-10}-\dfrac{100}{x}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{100x-100(x-10)}{x(x-10)}=\dfrac{1}{2}$

$x^2-10x-2 \, 000=0$

Ta có $\Delta '= 5^2+2 \, 000=2 \, 025>0$,

$\sqrt{\Delta}=45$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=5+45=50$ (tm); $x_2=5-45=-40$ (ktm).

Vậy vận tốc dự định là $50$ km/h và thời gian dự định là $\dfrac{100}{50}=2$ giờ.

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của xe máy là $x$ (km/h) (điều kiện: $x>0$).

Khi đó vận tốc của ô tô là: $x+9$ (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: $\dfrac{135}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: $\dfrac{135}{x+9}$ (giờ).

Vì o tô đến Bảo lạc trước xe máy $45$ phút $= \dfrac{3}{4}$ giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{135}{x}-\dfrac{135}{x+9} = \dfrac{3}{4}$

$135.4(x+9)-135.4x=3x(x+9)$

$540(x+9)-540x=3x^2+27x$

$3x^2+27x-4 \, 860=0$

$x^2+9x-1 \, 620=0$

$(x-36)(x+45)=0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=36$ (tm); $x=-45$ (ktm).

Vậy vận tốc của xe máy là $36$ km/h; vận tốc của ô tô là $45$ km/h.

Hướng dẫn giải:

Gọi số bộ quần áo mà phân xưởng phải may trong mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (bộ quần áo)

Điều kiện $x \in \mathbb{N}; \, x<900$

Khi đó thời gian phân xưởng may xong $900$ bộ quần áo theo kế hoạch là $\dfrac{900}{x}$ (ngày)

Thực tế mỗi ngày may được $x+10$ (bộ quần áo) nên thời gian phân xưởng may xong $900$ bộ quần áo là $\dfrac{900}{x+10}$ (ngày)

Do hoàn thành kế hoạch sớm hơn $3$ (ngày) nên ta có phương trình:

$\dfrac{900}{x}-\dfrac{900}{x+10}=3$

$900(x+10)-900x=3x(x+10)$

$x^2+10x-3 \, 000=0$

Ta có $\Delta' = 5^2-1.(-3 \, 000)=3 \, 025$

Do \Delta^'>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\dfrac{-5+55}{1}=50$ (thoả mãn); $x_2=\dfrac{-5-55}{1}=-60$ (không thoả mãn)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải may $50$ bộ quần áo.

Hướng dẫn giải:

Gọi số người được xét nghiệm mỗi giờ theo kế hoạch: $x$ (người), $(x \in \mathbb{N}^*)$

Khi đó, trên thực tế mỗi giờ xét nghiệm được $x+50$ (người)

Theo kế hoạch, thời gian xét nghiệm xong là $\dfrac{1 \, 000}{x}$ (giờ)

Trên thực tế, thời gian xét nghiệm xong: $\dfrac{1 \, 000}{x+50}$ (giờ)

Do hoàn thành sớm hơn kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình

$\dfrac{1 \, 000}{x}-\dfrac{1 \, 000}{x+50}=1$

$x^2+50x-50\,000$

$x=200$ (tm) hoặc $x=-250$ (ktm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ thành phố Gia Nghĩa xét nghiệm được $200$ người.