Đường trung trực của đoạn thẳng SVIP

1. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Ví dụ 1. Trong hình dưới đây đường thẳng $xy$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vì $xy$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $O$ của đoạn thẳng $AB$.

2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

 ĐỊNH LÍ 1

Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$ có $d$ là đường trung trực. Lấy $M, N \in d$ sao cho $MA = 3$, $NA=5$. Khi đó độ dài các đoạn thẳng $MB,\,NB$ bằng bao nhiêu?

 Lời giải

Vì $M,\,N$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên theo định lí 1, ta có:

$MB=MA=3$; $NB=NA=5$.

 ĐỊNH LÍ 2

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng $AB$, $O$ là trung điểm của $AB$. Hai điểm $P,\,Q$ khác $O$ thỏa mãn $PA=PB$, $QA=QB$. Chứng minh rằng ba điểm $P$, $O$, $Q$ thẳng hàng.

 Lời giải

Hai điểm $P$, $Q$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $A$, $B$ nên cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Mặt khác $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên $P,\,Q,\,O$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Cho hai điểm $M$ và $N$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EF$. Chứng minh rằng $\Delta EMN=\Delta FMN$.

  Lời giải

Do $M$ và $N$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ nên $ME = MF$ và $NE = NF$.

Xét $\Delta EMN$ và $\Delta FMN$ $$có:

$ME = MF$ 

$NE = NF$

$MN$: cạnh chung.

Do đó $\Delta EMN=\Delta FMN$ (c - c - c).

 DỰNG ĐƯỜNG TRUNG TRỰC BẰNG THƯỚC THẲNG VÀ COMPA

Bước 1: Lấy $A$ làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\dfrac12 AB$.

Bước 2: Lấy $B$ làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính ở trên.

Bước 3: Hai cung tròn này cắt nhau tại $M$ và $N$. Dùng thước vẽ đường thẳng $MN$. Khi đó đường thẳng $MN$ là đường trung trực của đoạn $AB$.