Đề số 2 (phần tự luận 7 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là: ${{x}^{2}}-4\ne 0;\,\,x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$

Mà ${{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$ hay $x\ne 2$ và $x \ne -2$.

b) Với điều kiện xác định $x\ne 2$ và $x \ne -2$ ta có:

$A=\dfrac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}$

$=\dfrac{2{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\dfrac{x\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\dfrac{2\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}$

$=\dfrac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-2x-2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$

$=\dfrac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$

$=\dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$

$=\dfrac{x-2}{x+2}.$

c) Với $x\ne 2,$ và $x \ne -2$ để $A=2$ thì $\dfrac{x-2}{x+2}=2$

Suy ra $x-2=2\left( x+2 \right)$

Do đó $x-2=2x+4$ hay $x=-6$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=-6.$​

Hướng dẫn giải:

a) ${{x}^{2}}-2x+1-{{y}^{2}}$

$=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-{{y}^{2}}$

$={{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}$

$=\left( x-1-y \right)\left( x-1+y \right).$

b) ${{x}^{2}}-8x+12$

$={{x}^{2}}-2x-6x+12$

$=\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( 6x-12 \right)$

$=x\left( x-2 \right)-6\left( x-2 \right)$

$=\left( x-2 \right)\left( x-6 \right).$

Hướng dẫn giải:

Thể tích khúc gỗ hình lập phương là: ${{30}^{3}}=27 \, 000$ (cm³).

Thể tích của phần gỗ còn lại hình chóp tứ giác đều là: $\dfrac{1}{3}{{.30}^{2}}.30=9 \, 000$ (cm³).

Thể tích của khối gỗ bị cắt đi là: $27 \, 000-9 \, 000=18 \, 000$ (cm³).

Hướng dẫn giải:

a) Góc ngoài tại đỉnh $B$ có số đo bằng $70^\circ$ nên góc trong tại đỉnh $B$ có số đo bằng $180^\circ -70^\circ =110^\circ$

Xét tứ giác $ABCD,$ ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^\circ$

Do đó $3x+110^\circ +x+90^\circ =360^\circ$

uy ra $4x=160^\circ$ nên $x=40^\circ$

Vậy $x=40^\circ$.

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ${ABH}$ vuông tại ${H}$ ta có: $A B^2=A H^2+B H^2$

Suy ra $A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}$

Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{3,{{7}^{2}}-1,{{2}^{2}}}=3,5$ m

Ta có $\dfrac{A H}{B H}=\dfrac{3,5}{1,2} \approx 2,9$

Mà $2,9>2,2$ nên khoảng cách đặt thang cách chân tường đã cho là không an toàn.

Hướng dẫn giải:

​$A=5+2xy+14y-{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}-2x$

$=-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2xy-2y+2x \right)-\left( 4{{y}^{2}}-12y+9 \right)+15$

$=-{{\left( x-y+1 \right)}^{2}}-{{\left( 2y-3 \right)}^{2}}+15\le 15$

Suy ra giá trị lớn nhất của $A=15$ khi và chỉ khi:

$x-y=-1$ và $2y-3=0$

Suy ra $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{3}{2}$.