Đề kiểm tra số 3 (100% tự luận) SVIP

Hướng dẫn giải:

1) Bảng tần số và bảng tần số tương đối cho dữ liệu cỡ giày của các bạn nam khối 9 trong trường.

2) Gọi số cần tìm là $\overline{a_1a_2a_3a_4}$ trong đó $a_i \in \mathbb{N},$ $0\le a_i \le 9, \, a_1\ne 0$ là các chữ số.

Chọn $a_1$ có $9$ cách.

Chọn $a_2$ có $9$ cách.

Chọn $a_3$ có $8$ cách.

Chọn $a_4$ có $7$ cách.

Số cách chọn là $9.9.8.7=4 \, 536$ cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $4 \, 536$.

Hướng dẫn giải:

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4.$

Thay $x=4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được:

$A=\dfrac{2}{\sqrt{4}-1}=2.$

b) Với $x\ge 0,\,x \ne 1$ ta có $P=B-A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$

$=\dfrac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)+4-2\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$=\dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.$

c) Với $x\ge 0, \, x \ne 1$ ta có $P=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}.$

$\sqrt{x}+1\ge 1$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện nên $\dfrac{3}{\sqrt{x}+1} \le 3$ suy ra $P\ge -2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-2$ khi $x=0.$

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AM$.

Ta có $\widehat{ADB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\widehat{ADM}=90^\circ$

Suy ra $\Delta ADM$ là tam giác vuông tại $D$ có $DI$ là đường trung tuyến nên $AI=DI=MI= \dfrac{AM}{2}$ (1)

Do $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $CO$ nên $AH \bot CO$

Suy ra $\Delta AHM$ là tam giác vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến nên: $AI=HI=MI= \dfrac{AM}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AI=DI=MI=HI$,

Do đó bốn điểm $A; \, D; \, M; \, H$ cùng thuộc một đường tròn.

Vậy $ADMH$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\widehat{CAD}+\widehat{DAO}=90^\circ$

$\widehat{CEA}+\widehat{CEB}=\widehat{AEB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà $\widehat{DAO}=\widehat{CEB}$ (cùng chắn $\overset\frown{DB}$)

Do đó $\widehat{CAD}=\widehat{CEA}$

Do đó $\Delta CAD \backsim \Delta CEA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CD}{CA}$ hay $CA^2=CD.CE$ (1)

 Mặt khác $\Delta ACO \backsim \Delta HCA$ (g.g)

Suy ra $CA^2=CH.CO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $CD.CE=CH.CO$.

Hướng dẫn giải:

Gọi giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là $O$.

Gọi $x, \, y$ (m) lần lượt là hai kích thước của mảnh vườn $(x>0,\,y>0)$ và $R$ (m) là bán kính đường tròn ngoại tiếp mảnh vườn.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $MNP$, ta có:

$x^2+y^2=MP^2$

Suy ra $R^2=OM^2=\dfrac{x^2+y^2}{4}$

Theo đề bài $xy=640$ m²

Diện tích $4$ phần đất mở rộng là: $S=S_t-S_{MNPQ}=\pi R^2-xy=\pi .\Big( \dfrac{x^2+y^2}{4} \Big)-xy \ge \pi . \dfrac{2xy}{4}-xy$ (theo bất đẳng thức Cauchy)

Do đó $S\ge 320\pi -640\approx 365,31$ m².

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=8\sqrt{10}$ (thoả mãn).

Vậy diện tích nhỏ nhất của $4$ phần đất được trồng thêm hoa khoảng $365,31$ m².

Hướng dẫn giải:

Vì các điểm phân biệt nằm trên một đường tròn nên ba điểm bất kì luôn tạo thành một tam giác.

Có 21 điểm được tô bằng 4 màu, do đó có ít nhất 6 điểm có cùng màu.

Giả sử có 6 điểm cùng màu đỏ là $A,B,C,D,E,F$

Nối 5 đoạn $AB,AC,AD,AE,AF$ và tô bằng hai màu nâu, đen khi đó có ít nhất 3 đoạn cùng màu, giả sử $AB,AC,AD$ được tô cùng màu đen

Xét $\Delta BCD$, xảy ra hai khả năng:

TH1: Nếu 3 cạnh $BC,BD,DC$ được tô cùng màu nâu thì tam giác $BCD$ có ba đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu nâu (thỏa mãn)

TH2: Nếu ba cạnh $BC,BD,DC$ có ít nhất một cạnh màu đen, giả sử $BC$ đen, khi đó tam giác $ABC$ có ba đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu đen (thỏa mãn)

Vậy luôn có một tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu.