Đề tự luận SVIP

Hướng dẫn giải:

1.

Khi $m=0,$ ta có bất phương trình:

$\left(x+1\right)\left(2-x\right)-3\sqrt{-x^{2} +x+6} \ge 0\Leftrightarrow -x^{2} +x+6-3\sqrt{-x^{2} +x+6} -4\ge 0 \left(2\right)$

Đặt $t=\sqrt{-x^{2} +x+6} , t\ge 0$

Bất phương trình $\left(2\right)$ trở thành: $t^{2} -3t-4\ge 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {t\le -1} \\ &{t\ge 4} \end{aligned}\right.$, kết hợp điều kiện $t\ge 0$, ta được: $t\ge 4.$

$\sqrt{-x^{2} +x+6} \ge 4\Leftrightarrow -x^{2} +x+6\ge 16\Leftrightarrow -x^{2} +x-10\ge 0\Leftrightarrow -\left(x-\dfrac{1}{2} \right)^{2} -\dfrac{39}{4} \ge 0$ (Vô lí).

Vậy $S=\varnothing.$

2.

Bất phương trình $\left(1\right)\Leftrightarrow -x^{2} +x+2-3\sqrt{-x^{2} +x+6} +m\ge 0$

$\Leftrightarrow -x^{2} +x+6-3\sqrt{-x^{2} +x+6} +m-4\ge 0$ $\left(2\right)$

Đặt $t=\sqrt{-x^{2} +x+6} =\sqrt{\dfrac{25}{4} -\left(x-\dfrac{1}{2} \right)^{2} }$.

Khi $x\in \left[-2;3\right]\Rightarrow t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$.

Bất phương trình $\left(2\right)\Leftrightarrow t^{2} -3t+m-4\ge 0\Leftrightarrow m\ge -t^{2} +3t+4$ $\left(3\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=-t^{2} +3t+4$ với $t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$

Bảng biến thiên

Bất phương trình $\left(1\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$ $\Leftrightarrow$ $\left(3\right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$.

$\Leftrightarrow m\ge \dfrac{25}{4} .$

Vậy, với mọi $m\ge \dfrac{25}{4}$ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$.

Hướng dẫn giải:

1.

$\left|\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \right|\ge 1\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \ge 1} \\ &{\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \le -1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&{\dfrac{2x^{2} -4x+4}{3x-4} \ge 0} \\ &{\dfrac{2x^{2} +2x-4}{3x-4} \le 0} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {3x-4>0} \\ &{\dfrac{2x^{2} +2x-4}{3x-4} \le 0} \end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&{x>\dfrac{4}{3} } \\ &{1\le x<\dfrac{4}{3} } \\ &{x\le -2} \end{aligned}\right.$ .

Tập nghiệm :$S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[1;\dfrac{4}{3} \right)\cup \left(\dfrac{4}{3} ;+\infty \right)$.

2.

Ta có: $\left\{\begin{aligned}&{x^{2} \le -2x+3} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{x^{2} +2x-3\le 0} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{-3\le x\le 1} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right.$.

+ Trường hợp 1: $m=-1$

Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{0\ge -3} \end{aligned}\right.$. Hệ luôn đúng với $\forall x\in \left[-3;1\right]$.

Vậy $m=-1$ loại.

+ Trường hợp 2: $m>-1$

Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{x\ge \dfrac{2m-1}{m+1} } \end{aligned}\right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{2m-1}{m+1} =1\Leftrightarrow 2m-1=m+1\Leftrightarrow m=2$ (nhận).

+ Trường hợp 3: $m<-1$ Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{x\le \dfrac{2m-1}{m+1} } \end{aligned}\right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{2m-1}{m+1} =-3\Leftrightarrow 2m-1=-3m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{-2}{5}$ (loại). Vậy $m=2$ hệ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

1.

$\sin ^{2} A+\sin ^{2} B-\sin ^{2} C$$=\dfrac{1-\cos 2A}{2} +\dfrac{1-\cos 2B}{2} -\sin ^{2} C$

$=1-\sin ^{2} C-\dfrac{1}{2} \left(\cos 2A+\cos 2B\right)=\cos ^{2} C-\cos \left(A+B\right).\cos \left(A-B\right)$

$=-\cos C.\cos \left(A+B\right)+\cos C.\cos \left(A-B\right)=\cos C.\left[\cos \left(A-B\right)-\cos \left(A+B\right)\right]$

$=\cos C.\left[-2\sin A.\sin \left(-B\right)\right]=2\sin A.\sin B.\cos C.$

2.

a. Ta có $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{2} \sin \alpha \left[{\rm cos}\left(-2\alpha \right)-\cos \dfrac{2\pi }{3} \right]$

$=\dfrac{1}{2} \sin \alpha .\cos 2\alpha +\dfrac{1}{4} \sin \alpha$

$=\dfrac{1}{4} \left[\sin \left(-\alpha \right)+\sin 3\alpha \right]+\dfrac{1}{4} \sin \alpha =\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha .$

Vậy $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha$.

b. Ta có $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\cos} 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin 5\alpha -2\sin \alpha .\cos 4\alpha -2\sin \alpha .\cos 2\alpha$

$=\sin 5\alpha -\left(\sin 5\alpha -\sin 3\alpha \right)-\left(\sin 3\alpha -\sin \alpha \right)$

$=\sin \alpha .$

Vậy $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\cos} 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin \alpha$.

Hướng dẫn giải:

1.

Đường thẳng $CD$ qua điểm $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.

Nên phương trình đường thẳng $CD$ là $6\left(x-\dfrac{133}{37} \right)+y+\dfrac{58}{37} =0\Leftrightarrow 6x+y-20=0$.

Ta có đường thẳng $AB$ qua điểm $A\left(1 ; -2\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.

Nên phương trình đường thẳng $AB$ là $6\left(x-1\right)+y+2=0\Leftrightarrow 6x+y-4=0$.

2.

Vì $D$ là giao điểm của $CD$ và $BD$ nên tọa độ $D$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&{6x+y=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {t=0} \\ &{x=4} \\ &{y=-4} \end{aligned}\right.$.

Vậy tọa độ $D\left(4 ; -4\right)$.

Vì $B$ là giao điểm của $AB$ và $BD$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}& {6x+y=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{t=-4} \\ &{x=0} \\ &{y=4} \end{aligned}\right.$.

Vậy tọa độ $B\left(0 ; 4\right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của $BD$ thì tọa độ $I\left(2 ;0\right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I\left(2 ;0\right)$ là trung điểm $AC$.

Do đó tọa độ $C\left(3 ; 2\right)$.

3.

Gọi $I=AC\cap BD$.

Xét biểu thức: $P=MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2} =\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)^{2}$

$=4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2}) +2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)$

Do $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$

Vậy $P =4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} )$

Mà $I,A,B,C,D$ cố định nên $IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} =$ hằng số.

Từ đó $P_{\min } \Leftrightarrow 4MI^{2}_{\min } \Leftrightarrow M\equiv I\Rightarrow M(2;0)$

Vậy với $M(2;0)$ thì $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2}$ đạt GTNN.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\forall x\ge 2\Rightarrow \left(x-2\right)\left(2x+3\right)\ge 0\Leftrightarrow 2x^{2} \ge x+6$.

$y\ge x+6+\dfrac{5}{x+1} =\left(\dfrac{5}{9} \left(x+1\right)+\dfrac{5}{x+1} \right)+\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5$.

$y\ge 2\sqrt{\dfrac{5}{9} \left(x+1\right).\dfrac{5}{x+1} } +\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5=\dfrac{10}{3} +\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5\ge \dfrac{10}{3} +\dfrac{4}{9} .3+5=\dfrac{29}{3} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $\dfrac{29}{3}$.