Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn SVIP

Hướng dẫn giải:

kéo dài CI cắt AD tại E.

Chứng minh được CI = IE nên tam giác CDE cân tại D.

Suy ra DI là phân giác góc D, khi đó IH = IA. Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Hướng dẫn giải:

Kẻ OI $\bot$ AB ( I $\in$ CD) ta suy ra OI là đường trung bình của hình thang ABCD và CI = ID.

Khi đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.

Ta có $IO=\dfrac{CA+DB}{2}=\dfrac{MC+MD}{2}=\dfrac{DC}{2}$ là bán kính của đường tròn (I).

Do đó AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

Hướng dẫn giải:

Vẽ $OH\perp CD\left(H\in CD\right)$. Ta chứng minh OH = r = OB. (r là bán kính của đường tròn (O) ).
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.
Ta có $\Delta OAC=\Delta OBE\left(g.c.g\right)\Rightarrow OC=OE$.
Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên DEC là tam giác cân tại D.
Khi đó DO cũng là đường phân giác.
$OH\perp DC,OB\perp DE\Rightarrow OH=OB.$.
Suy ra CD tiếp xúc với (O) tại H.
Ta có $OH\perp CD,OH=OB=r$.
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên $\widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^o$.

Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.

$\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}$.

Tam giác ACM cân tại C nên $\widehat{HCM}=\widehat{HCA}$.

Mà $\widehat{HCA}=\widehat{HBC}$ (Cùng phụ góc CAB)

Tam giác IJB cân tại J nên $\widehat{HBC}=\widehat{JIB}$.

Tóm lại : $\widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}$

$\Rightarrow\widehat{HIJ}=\widehat{MIB}=90^o.$

Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.

Hướng dẫn giải:

Do $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$ nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AED chính là đường tròn đường kính AH.

Do H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm. Thế thì AH $\perp$ BC.
Suy ra  $\widehat{DAH}=\widehat{DBC}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{DCB}$).
Tam giác BDC vuông tại D có I là trung điểm của BC nên IB = ID = IC.
Suy ra tam giác IBD cân ở I.  Vì vậy $\widehat{IDB}=\widehat{DBI}$.
Từ đó suy ra: $\widehat{HAD}=\widehat{HBI}=\widehat{BDI}$  hay  $\widehat{HAD}=\widehat{HDI}$.

Gọi J là trung điểm AH. Ta có $\widehat{HAD}=\widehat{JDA}\Rightarrow\widehat{JDA}=\widehat{HDI}$.

Vậy nên $\widehat{JDI}=\widehat{HDI}+\widehat{JDH}=\widehat{JDA}+\widehat{FDH}=\widehat{ADH}=90^o$.
Suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Chứng minh tương tự ta cũng có EI là tiếp tuyến của đường kính AH.

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b)  Gọi O là trung điểm của AH và K là giao điểm của AH với BC. Do H là trực tâm nên ta có ngay AK là đường cao của tam giác ABC.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:
$\widehat{OEH}=\widehat{OHE}=\widehat{KHC}$; $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$.
mà $\widehat{KHC}+\widehat{MCE}=90^o$.
Suy ra: $\widehat{OEH}+\widehat{MEC}=90^o$ nên $OE\perp EM$ hay ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Do E nằm trên đường tròn (O) nên $\widehat{DEC}=90^o$ hay $DE\perp AC$.

Thế thì DE//AB.

Gọi M là trung điểm AE, xét hình thang ABDE có: H là trung điểm BD và M là trung điểm AE nên HM là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HM//AB//DE hay $HM\perp AE.$

Suy ra tam giác HAE cân tại H hay $\widehat{HEA}=\widehat{HAE}$.

Tam giác OEC cân tại O nên $\widehat{OEC}=\widehat{OCE}$.

Từ đó ta có: $\widehat{HEA}+\widehat{OEC}=\widehat{HAE}+\widehat{OCE}=90^o.$

Suy ra $\widehat{OEH}=180^o-90^o=90^o.$
Vậy nên $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=17\left(cm\right)$

Do tam giác HAE cân tại H nên:

HE = AH = $\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{120}{17}.$